]> Minta varianciája
  1. Virtuális laboratóriumok
  2. 5. Véletlen minták
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7

3. A minta varianciája

Előzetes

Tételezzük fel, hogy van egy alap véletlen kísérletünk, és hogy X egy valós értékű valószínűségi változó, erre a kísérletre vonatkozó μ átlaggal és σ standard szórással. Továbbá jelölje

d k X μ k ,  k

a k -adik momentumot. Speciálisan megjegyezzük, hogy d 0 1 , d 1 0 , és d 2 σ 2 . Tételezzük fel, hogy d 4 .

Az alapkísérletet ismételjük meg n -szer, hogy kapjunk egy új, összetett kísérletet az X X 1 X 2 X n független, véletlen változók egy sorozatát, melyeknek ugyanaz az eloszlása, mint az X változóé. A statisztikai szóhasználatban X egy n elemű véletlen minta mely az X eloszlásból lett véve. Emlékeztetünk arra, hogy a minta átlaga

M X 1 n i 1 n X i

adatok közepének természetes mértéke és az eloszlás μ várható értékének természetes becslése. Ebben a részben statisztikákat származtatunk, amelyek az adatok szórásának és a σ 2 szórásnégyzetének természetes becslései. A statisztikák, amelyeket származtatunk, különböznek, attól függően, hogy vajon μ ismert, vagy ismeretlen; ezért μ -re úgy hivatkozunk, mint a σ 2 becslési problémájához tartozó zavaró paraméterre.

Egy speciális mintaszórásnégyzet

Először tételezzük fel, hogy μ ismert. Bár ez majdnem mindig egy mesterséges feltételezés, kezdetnek jó lesz, mivel viszonylag könnyen vizsgálható. W 2 X 1 n i 1 n X i μ 2

Tulajdonságok

Mutassuk meg, hogy W 2 egy n elemű véletlen mintából vett mintaátlag, melynek eloszlása X μ 2 eloszlásával egyezik meg.

Mutassuk meg az 1. gyakorlat eredményét felhasználva, hogy

  1. W 2 σ 2 .
  2. W 2 1 n d 4 σ 4 .
  3. W 2 σ 2 ha n 1 valószínűséggel.

Speciálisan 2 (a) azt jelenti, hogy W 2 egy torzítatlan becslése σ 2 -nek.

Használjuk fel a kovariancia alaptulajdonságait annak megmutatására, hogy M W 2 d 3 n . Ebből következik, hogy a mintaátlag és a speciális mintaszórásnégyzet korrelálatlanok, ha d 3 0 és aszimptotikusan korrelálatlanok minden esetben.

A speciális szórásnégyzet négyzetgyöke a mintaszórásnégyzetnek egy speciális verziója, melyet W X -szel jelölünk.

Felhasználva a Jensen egyenlőtlenséget mutassuk meg, hogy W σ . Így, W egy torzított becslés, ami tart σ alsó becsléséhez.

Mutassuk meg, hogy ha c konstans, akkor W 2 c X c 2 W 2 X

Standard mintaszórásnégyzet

Vizsgáljuk most azt a életszerűbb esetet, amelyben μ ismert. Ebben az esetben az átlag természetes megközelítése valamilyen értelemben X i M 2 ahol i 1 2 n . Úgy tünhet, hogy az átlagot osztani kell n -nel. Azonban egy másik megközelítés az, hogy bármilyen más konstanssal osztva torzítatlan becslést kapunk σ 2 -re.

Algebrai ismereteket használva mutassuk meg, hogy

i 1 n X i M 2 i 1 n X i 2 n M 2

A 6. gyakorlat eredményét és a várható érték alaptulajdonságait felhasználva mutassuk meg, hogy

i 1 n X i M 2 n 1 σ 2

A 7. gyakorlatból következően

S 2 X 1 n 1 i 1 n X i M X 2

torzítatlan becslése σ 2 -nek; elnevezése: a minta szórásnégyzete. Gyakorlati szempontból, ha n nagy, akkor nincs nagy különbség aközött, hogy n , vagy n 1 van a nevezőben.

Alaptulajdonságok

A következő alternatív formula közvetlenül következik a 6. gyakorlatból és bizonyos célokhoz jobb is.

Mutassuk meg, hogy

S 2 1 n 1 i 1 n X i 2 n n 1 M 2

Az előző gyakorlat formuláját és a nagy számok (erős) törvényét használva mutassuk meg, hogy S 2 σ 2 ha n 1 valószínűséggel.

Mutassuk meg, hogy ha c konstans, akkor S 2 c X c 2 S 2 X

Mutassuk meg, hogy S 2 n n 1 W 2 M μ 2

A minta szórásnégyzetének a négyzetgyöke aminta standard szórása, amelyet S X -vel jelölünk.

A Jensen egyenlőtlenséget felhasználva mutassuk meg, hogy S σ . Így S egy torzított becslés, ami σ alsó becsléséhez tart.

Momentumok

Ebben a részben néhány összefüggést vezetünk le a minta szórásnégyzetére, az átlag és a szórásnégyzet közötti kovarianciára. Az első néhány gyakorlatban megmutatjuk, hogy

S 2 1 n d 4 n 3 n 1 σ 4

Ellenőrizzük le a következő eredményt. Útmutatás: A kifejezés jobb oldalán vegyük az összeget tagonként. Fejtsük ki a X i X j 2 kifejezést, vegyük az összeget tagonként.

S 2 1 2 n n 1 i 1 n j 1 n X i X j 2

Ebből következik, hogy S 2 a 13. gyakorlat kifejtésében szereplő kifejezésében lévő tagok összes páronként vett kovarianciáinak az összege.

Tételezzük fel, hogy i j . Ellenőrizzük a következő eredményeket. (Útmutatás: Az X i X j m , kifejezésben adjunk hozzá és vonjunk is ki μ -t, fejtsük ki és használjuk fel a függetlenséget)

  1. X i X j 2 2 σ 2
  2. X i X j 4 2 d 4 6 σ 4

Végül vezessük le a S 2 -re vonatkozó formulát, megmutatva, hogy

  1. X i X j 2 X k X l 2 0 ha i j vagy k l vagy i , j , k , l különböznek.
  2. X i X j 2 X i X j 2 2 d 4 2 σ 4 ha i j , és létezik a kovarianciák összegében 2 n n 1 ilyen kifejezés.
  3. X i X j 2 X k X j 2 d 4 σ 4 ha i , j , k különböznek, és létezik a kovarianciák összegében 4 n n 1 n 2 ilyen kifejezés.

Mutassuk meg, hogy S 2 W 2 . Ésszerűnek tűnik ez?

Mutassuk meg, hogy S 2 0 ha n .

Hasonló technikát használva mutassuk meg, hogy M S 2 d 3 n . Speciálisan megjegyezzük, hogy M S 2 M W 2 . S ismét a minta átlaga és szórásnégyzete korrelálatlan, ha d 3 0 , egyébként aszimpotikusan korrelált.

Példák és speciális esetek

Szimulációs gyakorlatok

Ebben a projektben sok applet a minket érdekő véletlen változóval kapcsolatos kísérletek szimulációja. Amikor végrehajtunk egy szimulációt, Ön a kísérlet független ismétléseit hajtja végre. A legtöbb esetben az applet kijelzi az eloszlás standard szórását, mind numerikusan egy táblázatban, mind grafikusan az oszlopdiagramon a piros vízszintes sáv szélességeként.

A pénzérme kísérletben, a fejek száma a véletlen változó. Végezzük el a szimulációt 1000-szer, minden tízediknél frissítve és figyeljük meg a minta standard szórásának a konvergenciáját az eloszlás elméleti szórásához.

A párosítási kísérlet szimulációjában a párok száma a véletlen változó. Végezzük el a szimulációt 1000-szer, minden tizediknél frissítve és figyeljük meg a minta standard szórásának a konvergenciáját az eloszlás elméleti szórásához.

Végezzük el az exponenciális kísérlet szimulációját 1000-szer, minden tizediknél frissítve és figyeljük meg a minta standard szórásának a konvergenciáját az eloszlás elméleti szórásához.

Adatvizsgálati gyakorlatok

A minta átlagát és standard szórását - mint a középérték és a terjedelem mérőszámait - gyakran kiszámítják a hipotézis felállításához végzett adatvizsgálatoknál.

Számítsuk ki a mintaátlagot és a standard szórást, valamint ábrázoljuk a sűrűsághisztogramot a Michelson által mért fénysebesség adatokra!

Számítsuk ki a mintaátlagot és a standard szórást, valamint ábrázoljuk a sűrűsághisztogramot a Cavendish által mért Föld sűrűségi adatokra!

Vizsgáljuk meg a M&M adatokat!

  1. Számítsuk ki a mintaátlagot és a standard szórást, valamint ábrázoljuk a sűrűsághisztogramot a cukorkák teljes számára.
  2. Számítsuk ki a mintaátlagot és a standard szórást, valamint ábrázoljuk a sűrűsághisztogramot az új súlyokra.

Vizsgáljuk meg a Fisher féle nőszirom adatokat. Számítsuk ki a mintaátlagot és a standard szórást, valamint ábrázoljuk a sűrűsághisztogramot a sziromlevél hosszára az alábbi megszorítások szerint! Hasonlítsuk össze az eredményeket!

  1. Összes esetre.
  2. Mindegyik fajtára külön-külön.

Vizsgáljuk meg a Kabóca adatokat! Számítsuk ki a mintaátlagot és a standard szórást, valamint ábrázoljuk a sűrűsághisztogramot a testsúlyra az alábbi megszorításokkal! Az eredményeket hasonlítsuk össze!

  1. Összes eset.
  2. Mindegyik fajtára külön-külön.
  3. A hím és nőnemű egyedekre külön-külön.

Intervallum típusú adatok

Tételezzük fel, hogy az aktuális adatok helyett A 1 A 2 A k osztályokra bontott gyakorisági eloszlásunk van. Az osztópontok: x 1 x 2 x k , és a gyakoriságok: n 1 n 2 n k . Így

n j i 1 2 n X i A j ,  j 1 2 k

Ebben az esetben a mintaátlag és a szórásnégyzet közelítő értékei

m 1 n j 1 k n j x j ,  s 2 1 n 1 j 1 k n j x j m 2

Feltételezik, hogy mindegyik osztály adatértékei az osztópontok által jól vannak reprezentálva.

Az interaktív hisztogramban válasszuk ki az átlagot és a szórást. Állítsuk be az osztályszéleséget 0.1 értékre és konstruáljunk egy gyakorisági eloszlást legalább hat, nem üres osztállyal és legalább 10 értékkel. Számítsuk ki manuálisan az átlagot, a szórásnégyzetet és a standard szórást és ellenőrizzük, ugyanazt az értéket kaptuk-e, mint az applet!

Az interaktív hisztogramban válasszuk ki az átlagot és a szórást. Állítsuk be az osztályszéleséget 0.1 értékre és konstruáljunk egy eloszlást az alant megadott típusonként legalább 30 értékkel. Ekkor növeljük az osztályszélességet a négy érték mindegyikénél. Amint végrehajtjuk ezeket az operációkat, változni fog az átlag ± standard szórás ábrája.

  1. Egyenletes eloszlás.
  2. Szimmetrikus egycsúcsú eloszlás.
  3. Egycsúcsú jobbra ferde eloszlás.
  4. Egycsúcsú balra ferde eloszlás.
  5. Szimmetrikus kétcsúcsú eloszlás.
  6. Az u -alakú eloszlás.

Az interaktív hisztogramban konstruáljunk egy olyan eloszlást, ami a lehető legnagyobb standard szórással rendelkezik.

A 28. gyakolatban adott válaszára alapozva jelemezze azokat az eloszlásokat, amik (rögzített a b intervallumon) a lehető legnagyobb standard szórással rendelkeznek.