A khí-négyzet eloszlás

Ebben a fejezetben a khí-négyzet eloszlással foglalkozunk, ami egy alapvető fontosságú eloszlás a matematikai statisztikában. Például találkozhatunk vele normális eloszlásból vett minta empirikus szórásnégyzetének (vagy más szóval empirikus varianciájának) számításakor, vagy illeszkedésvizsgálatnál.

Sűrűségfüggvény

Minden

n 0

esetén a

k n 2

alakparaméterű és 2 skála-paraméterű gamma eloszlást más szóval

n

szabadsági fokú khí-négyzet eloszlásnak nevezik.

Igazoljuk, hogy az $n$ szabadsági fokú khí-négyzet eloszlás sűrűségfüggvénye

f x 1 2 n 2 n 2 x n 2 1 x 2, x 0 .

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a khí-négyzet eloszlást. Változtassuk az $n$ paraméter értékét, és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját! Néhány rögzített $n$ értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!

Igazoljuk, hogy a 2 szabadsági fokú khí-négyzet eloszlás megegyezik a 2 skála-paraméterű exponenciális eloszlással!

Vázoljuk a khí-négyzet sűrűségfüggvény grafikonját az alábbi esetek mindegyikében:

$0 n 2$ ,
$n 2$ : ez az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye,
$n 2$ . Ekkor igazoljuk, hogy a módusz $x n 2 .$

A kvantilis appletben válasszuk a khí-négyzet eloszlást! Változtassuk a paraméter értékét, és figyeljük meg a sűrűség- és az eloszlásfüggvény alakját! Az alábbi esetek mindegyikében határozzuk meg a mediánt, az alsó és felső kvantilis értékét és az interkvantilis terjedelmet!

$n 1$
$n 2$
$n 5$
$n 10$

Momentumok

A khí-négyzet eloszlás várható értéke, szórásnégyzete, momentumai és momentum generáló függvénye megkaphatók a gamma eloszlásra kapott eredmények speciális eseteiként. A következő feladatokban tegyük fel, hogy

X

khí-négyzet eloszlású

n

szabadsági fokkal.

Igazoljuk, hogy

$X n,$
$X 2 n .$

Igazoljuk, hogy a $k 0$ rendű momentumra

X k 2 k n 2 k n 2 .

Igazoljuk, hogy a momentum generáló függvény a következő:

t X 1 1 2 t n 2, t 1 2 .

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a khí-négyzet eloszlást! Változtassuk az $n$ paraméter értékét, és figyeljük meg a várható értéket és szórást jelölő intervallum helyét és hosszát! Néhány $n$ értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergálnak az empirikus momentumok a valódi momentumokhoz!

Transzformációk

Legyen $Z$ standard normális eloszlású. A változók cseréjéről tanultak felhasználásával igazoljuk, hogy $U Z 2$ 1 szabadsági fokú khí-négyzet eloszlású.

A momentum generáló függvény, vagy a gamma eloszlás tulajdonságait használva igazoljuk, hogy ha $X$ khí-négyzet eloszlású $m$ szabadsági fokkal, $Y$ pedig khí-négyzet eloszlású $n$ szabadsági fokkal, valamint $X$ és $Y$ függetlenek, akkor $X Y$ szintén khí-négyzet eloszlású, szabadsági fokainak száma pedig $m n$ .

Legyen $Z 1 Z 1 Z n$ független standard normális eloszlású változók sorozata (vagyis egy $n$ elemű véletlen minta standard normális háttéreloszlásból).Az előző két feladat eredményeit felhasználva igazoljuk, hogy

V i i n Z i 2

khí-négyzet eloszlású $n$ szabadsági fokkal.

Az előző feladatban adott reprezentáció az oka annak, hogy a khí-négyzet eloszlás külön nevet kapott, hisz független normális eloszlású változók négyzetösszege gyakran előfordul a statisztikai alkalmazásokban. Másrészt a következő feladatunk értelmében minden gamma eloszlású valószínűségi változó átskálázható khí-négyzet eloszlásúvá.

Legyen $X$ gamma eloszlású $k$ alak- és $b$ skála-paraméterrel. Igazoljuk, hogy $Y 2 X b$ khí-négyzet eloszlású $2 k$ szabadsági fokkal.

Kilőttek egy rakétát a síkbeli koordinátarendszer origójában lévő célpont irányába. A rakéta becsapódási helye $X Y$ , ahol $X$ és $Y$ független normális eloszlásúak 0 várható értékkel és 100 szórásnégyzettel. A rakéta akkor rombolja le a célpontot, ha annak 20 egységnyi környezetében landol. Mi ennek a valószínűsége?

Normális approximáció

A centrális határeloszlás-tételből és a gamma eloszlásra vonatkozó korábbi eredményeinkből következik, hogy ha

n

nagy, az

n

szabadsági fokú khí-négyzet eloszlás közelíthető normális eloszlással, melynek várható értéke

n

, szórásnégyzete pedig

2 n

. Pontosabban, ha

X n

khí-négyzet eloszlású

n

szabadsági fokkal, akkor az alábbi standardizáltja eloszlásban konvergál a standard normális eloszláshoz, amint

n :

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a khí-négyzet eloszlást! Kezdetben legyen $n 1$ , majd növeljük $n$ értékét! Figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját! Néhány $n$ értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!

Legyen $X$ khí-négyzet eloszlású $n 18$ szabadsági fokkal. Határozzuk meg a következő mennyiségek valódi értékét (a kvantilis applet segítségével), és közelítsük is őket a normális approximációval. Vessük össze a közelítő értékeket a valódi értékekkel!

$15 X 20,$
$X$ 0,75 kvantilise.

4. A khí-négyzet eloszlás

Sűrűségfüggvény

Momentumok

Transzformációk

Normális approximáció