]>
Ebben a fejezetben egy fontos eloszláscsaláddal, a gamma eloszlások családjával foglalkozunk. Ebbe az eloszláscsaládba tartozik az érkezési idők eloszlása a Poisson folyamatokban, és a statisztikában is fontos khí-négyzet eloszlás.
A gamma függvény (melyet először Leonhard Euler definiált) definíciója a következő:
Igazoljuk, hogy a gamma függvény jól definiált, azaz a definiáló integrál konvergens minden esetén!
A gamma függvény grafikonját a intervallumon az alábbi ábrán láthatjuk:
Parciális integrálással igazoljuk, hogy tetszőleges esetén.
A 2. feladatot felhasználva igazoljuk, hogy ha pozitív egész.
A standard normális sűrűségfüggvény felhasználásával igazoljuk, hogy .
Az egyik leghíresebb aszimptotikus összefüggés a következő, úgynevezett Stirling formula (mely James Stirling-ről kapta a nevét):
Tehát speciálisan
Igazoljuk, hogy a következő függvény egy valószínűségi sűrűségfüggvény minden esetén
Ha az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a fenti függvény, akkor azt mondjuk, hogy -ad rendű gamma eloszlású. A következő feladat megoldásával láthatjuk, hogy milyen sokféle lehet a sűrűségfüggvény alakja a rend függvényében. Ezért szokás az előző paramétert alakparaméternek is nevezik.
Vázoljuk a gamma sűrűségfüggvény grafikonját az alábbi esetekben:
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a gamma eloszlást! Változtassuk az alakparaméter értékét, és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját! Néhány értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!
Egy bizonyos alkatrész élettartama (100 órákban mérve) gamma eloszlású alakparaméterrel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az alkatrész 300 óránál is tovább üzemel?
A gamma eloszlás eloszlásfüggvényét és kvantilis függvényét nem lehet zárt elemi képlettel felírni, viszont közelíthetjük őket a kvantilis applet, illetve egyéb matematikai vagy statisztikai szoftverek segítségével.
A kvantilis applet segítségével határozzuk meg a gamma eloszlás mediánját, alsó és felső kvartilisét és az interkvartilis terjedelmét az alábbi esetek mindegyikében:
A következő feladatban a gamma eloszlás várható értékét és szórásnégyzetét határozzuk meg.
Legyen -rendű gamma eloszlású. Igazoljuk, hogy
Általánosabban, a momentumokat könnyen kifejezhetjük a gamma függvény segítségével:
Legyen gamma eloszlású alakparaméterrel. Igazoljuk, hogy
A következő feladatban a momentum generáló függvényt határozzuk meg.
Legyen gamma eloszlású alakparaméterrel. Igazoljuk, hogy
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a gamma eloszlást. Változtassuk az alakparamétert, és figyeljük meg a várható értéket és szórást jelölő csúszka helyét és méretét. Néhány értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergálnak az empirikus momentumok az eloszlás valódi momentumaihoz!
Egy bizonyos virág szirmának hossza (cm-ben mérve) gamma eloszlású alakparaméterrel. Határozzuk meg a virágszirom hosszának várható értékét és szórását!
Az általános gamma eloszlás annyiban tér el az eddig tárgyalttól, hogy még bevezethetünk egy skála-paramétert. Tehát ha alap gamma eloszlású alakparaméterrel, akkor esetén gamma eloszlású alakparaméterrel és skála-paraméterrel. Az alakparaméter reciprokát - különösen a Poisson folyamatok tárgyalása esetén - szokás rátának nevezni. Speciálisan a és paraméterű gamma eloszlást nevezik skála-paraméterű (vagy rátaparaméterű) exponenciális eloszlásnak.
Az alap gamma eloszlásnál látott állítások megfelelőit az általános esetben könnyen beláthatjuk a skálatranszformációra vonatkozó általános szabályok alapján.
Legyen gamma eloszlású alak- és skála-paraméterrel. Igazoljuk, hogy sűrűségfüggvénye az alábbi függvény:
Ahogy azt már tárgyaltuk, a skála-paraméter bevezetése nem változtatja meg a sűrűségfüggvény alakját, csak skálázza
azt. Tehát a sűrűségfüggvény lehetséges alakjai ugyanazok, mint amiket már a 6. feladatban láttunk.
Legyen gamma eloszlású alak- és skála-paraméterrel. Igazoljuk, hogy ha akkor az eloszlás módusza .
Legyen gamma eloszlású alak- és skála-paraméterrel. Igazoljuk, hogy
Legyen gamma eloszlású alak- és skála-paraméterrel. Igazoljuk, hogy
Legyen gamma eloszlású alak-, és skála-paraméterrel. Igazoljuk, hogy momentum generáló függvénye
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a gamma eloszlást. Változtassuk a paraméterek értékét, és figyeljük meg a sűrűségfüggvényt, valamint a várható értéket és a szórást jelölő csúszka helyét és méretét. Néhány paraméterértékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűség és az empirikus momentumok az eloszlás valódi sűrűségfüggvényéhez és momentumaihoz!
Egy bizonyos alkatrész élettartama (órákban kifejezve) gamma eloszlású alak- és skála-paraméterrel.
Az első transzformáció, melyet tekintünk, alátámasztja a skála-paraméter elnevezés helyességét.
Legyen gamma eloszlású alak-, és skála-paraméterrel. Igazoljuk, hogy ha , akkor gamma eloszlású alak- és skála-paraméterrel!
A következő feladatban egy fontos állítást látunk be, miszerint a rögzített skála-paraméterű gamma eloszlások családja zárt a konvolúcióra nézve (azaz független gamma eloszlású változók összege is gamma eloszlású).
Legyen gamma eloszlású alakparaméterrel, és skála-paraméterrel, ahol . Tegyük fel továbbá, hogy és függetlenek. Igazoljuk, hogy gamma eloszlású alak- és skála-paraméterrel! Segítség: használjunk momentum generáló függvényeket!
Legyen gamma eloszlású alak- és skála-paraméterrel. Igazoljuk, hogy ezek az eloszlások egy kétparaméteres exponenciális eloszláscsaládot alkotnak, ahol a természetes paraméterek , a természetes statisztikák pedig .
A 23. feladat értelmében ha gamma eloszlású alak- és rögzített skála-paraméterrel, akkor
ahol független valószínűségi változók sorozata, melyek mindegyike paraméterű exponenciális eloszlású. A centrális határeloszlás-tétel szerint viszont ha nagy, akkor a gamma eloszlás approximálható várható értékű és szórásnégyzetű normális eloszlással. Pontosabban a tétel értelmében az alábbi standardizált változó eloszlása konvergál a standard normális eloszláshoz amint :
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a gamma eloszlást. Változtassuk a paraméterek értékét, és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját! Néhány paraméterértékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény az eloszlás valódi sűrűségfüggvényéhez!
Tegyük fel, hogy gamma eloszlású és paraméterekkel. Az alábbi értékeket határozzuk meg a kvantilis applet segítségével, majd közelítsük őket a normális approximációval! Vessük össze a kapott eredményeket!