]> A normális eloszlás
  1. Virtual Laboratories
  2. 4. Nevezetes eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8
  11. 9
  12. 10
  13. 11
  14. 12
  15. 13
  16. 14
  17. 15

2. A normális eloszlás

A normális eloszlás talán a legfontosabb eloszlás mind a valószínűségszámításban, mind a matematikai statisztikában, hisz a centrális határeloszlás-tétel értelmében minden véges szórású független, azonos eloszlású valószínűségi változó sorozat skálalimesze normális eloszlású. Ezt az eloszlást más szóval Gauss eloszlásnak is nevezik Carl Friedrich Gauss tiszteletére, aki az egyik első alkalmazója volt.

Standard normális eloszlás

A Z valószínűségi változó standard normális eloszlású, ha a valószínűségi sűrűségfüggvénye az alábbi φ függvény:

φ z 1 2 12 z 2 ,  z .

Igazoljuk, hogy φ valóban valószínűségi sűrűségfüggvény, azaz lássuk be, hogy

z 12 z 2 2 .

Segítség: Legyen C az integrál értéke. Fejezzük ki C 2 -et, mint egy 2 -en vett kettős integrált, majd térjünk át polár koordinátákra!

Analízisbeli ismereteinkre támaszkodva vázoljuk a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonját! Ehhez lássuk be az alábbi állításokat:

  1. φ szimmetrikus a z 0 -ra,
  2. φ növekvő a 0 intervallumon és csökkenő a 0 intervallumon,
  3. a módusza z 0 ,
  4. φ konvex a 1 és a 1 intervallumokon és konkáv a 1 1 intervallumon,
  5. φ inflexiós pontjai a z 1 pontok,
  6. φ z 0 amint z és amint z .

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a normális eloszlást és az alapbeállításokat. Figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját és helyzetét, majd szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és vizsgáljuk meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!

A standard normális eloszlás Φ eloszlásfüggvénye,

Φ z t z φ t t z 1 2 12 t 2

és ennek Φ inverze nem fejezhető ki elemi függvények segítségével zárt formulával. Azonban közelítő értékeket kaphatunk a standard normális eloszlás táblázatából, a kvantilis appletből és sok matematikai, illetve statisztikai szoftver segítségével.

Szimmetria érveléssel igazoljuk, hogy

  1. Φ z 1 Φ z ,  z ,
  2. Φ p Φ 1 p ,  p 0 1 ,
  3. a medián 0.

A kvantilis appletben válasszuk a standard normális eloszlást!

  1. Figyeljük meg a sűrűség- és az eloszlásfüggvény alakját!
  2. Határozzuk meg az alsó és felső kvartilis (vagy más szóval első és harmadik kvartilis) értékét!
  3. Határozzuk meg az interkvartilis terjedelem értékét!

A kvantilis applet segítségével határozzuk meg a standard normális eloszlás következő számokhoz tartozó kvantilis értékeit:

  1. p 0.001 , p 0.999 ,
  2. p 0.05 , p 0.95 ,
  3. p 0.1 , p 0.9 .

Általános normális eloszlás

Az általános normális eloszlások családja nem más, mint a standard normális eloszláshoz tartozó hely- és skála-paraméteres család. Tehát a sűrűség- és eloszlásfüggvényeik tulajdonságait megkaphatjuk az ilyen eloszláscsaládokra vonatkozó általános elmélet speciális eseteként.

Igazoljuk, hogy a μ hely- és σ 0 skála-paraméterű normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye:

f x 1 2 σ x μ 2 2 σ 2 ,  x .

Vázoljuk a μ hely-, és σ skála-paraméterű normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonját! Ehhez lássuk be, hogy

  1. f szimmetrikus x μ -re,
  2. f növekvő a μ intervallumon és csökkenő a μ intervallumon,
  3. a módusza x μ ,
  4. f konvex a μ σ és a μ σ intervallumokon és konkáv a μ σ μ σ intervallumon,
  5. f inflexiós pontjai az x μ σ pontok,
  6. f x 0 amint x és amint x .

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a normális eloszlást. Változtassuk a paraméterértékeket, és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját és helyzetét, majd szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és vizsgáljuk meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!

Jelölje F a μ hely- és σ skála-paraméterű normális eloszlás eloszlásfüggvényét, és legyen Φ a standard normális eloszlásfüggvény.

Igazoljuk, hogy

  1. F x Φ x μ σ ,  x ,
  2. F p μ σ Φ p ,  p 0 1 ,
  3. a medián x μ .

A kvantilis appletben válasszuk a normális eloszlást! Változtassuk a paraméterértékeket, és figyeljük meg, hogyan változik a sűrűségfüggvény és az eloszlásfüggvény alakja!

Momentumok

A normális eloszlás fontos tulajdonságait legkönnyebben a momentum generáló függvénye segítségével érthetjük meg.

Tegyük fel, hogy Z standard normális eloszlású. Igazoljuk, hogy ekkor Z momentum generáló függvénye az alábbi függvény

t Z 12 t 2 ,  t .

Segítség: az t Z -nél számolt integrálban alakítsunk teljes négyzetté, majd használjuk ki, hogy már ismerjük a standard normális sűrűségfüggvényt!

Legyen X normális eloszlású μ hely- és σ skála-paraméterekkel. Az előző feladat segítségével igazoljuk, hogy X momentum generáló függvénye az alábbi függvény

t X μ t σ 2 2 t 2 ,  t .

Ahogy a jelölésük is sugallja, a hely- és a skála-paraméter egyúttal az eloszlás várható értéke és szórása.

Legyen X normális eloszlású μ hely- és σ skála-paraméterrel. Igazoljuk, hogy

  1. X μ ,
  2. X σ 2 .

Általánosabban, meghatározhatjuk X összes centrált momentumát.

Legyen X normális eloszlású μ várható értékkel és σ szórással. Igazoljuk, hogy n esetén

X μ 2 n 2 n n 2 n σ 2 n ,  X μ 2 n 1 0 .

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a normális eloszlást. Változtassuk a paraméterértékeket, és figyeljük meg a várható értéket és szórást jelölő csúszka helyzetét. Tetszőleges paraméterválasztással szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és vizsgáljuk meg, hogyan konvergálnak az empirikus momentumok a valódi momentumokhoz!

A következő feladatban a normális eloszlás ferdeségét és lapultságát határozzuk meg.

Legyen X normális eloszlású μ várható értékkel és σ szórással. A ferdeségre a skew, a lapultságra pedig a kurt jelöléseket használva igazoljuk, hogy

  1. X 0 ,
  2. X 3 .

Transzformációk

A normális eloszláscsalád transzformációival kapcsolatban két nagyon fontos tény, hogy normális eloszlás lineáris transzformáltja és független normális eloszlású változók összege is normális eloszlású. Ezek közül az első könnyű következménye annak a ténynek, hogy a normális eloszláscsalád hely- és skála-paraméteres eloszláscsalád. A formális bizonyítások legegyszerűbben a momentum generáló függvények segítségével adhatók meg.

Legyen X normális eloszlású μ várható értékkel és σ 2 szórásnégyzettel. Igazoljuk, hogy ha a , b konstansok, és a nemnulla, akkor a X b normális eloszlású a μ b várható értékkel és a 2 σ 2 szórásnégyzettel.

Az előző feladatbeli állítás speciális eseteiként igazoljuk a következőket:

  1. ha X normális eloszlású μ várható értékkel és σ szórással, akkor Z X μ σ standard normális eloszlású,
  2. ha Z standard normális eloszlású és μ illetve σ 0 konstansok, akkor X μ σ Z normális eloszlású μ várható értékkel és σ szórással.

Legyen X i normális eloszlású μ i várható értékkel és σ i 2 szórásnégyzettel, ahol i 1 2 . Tegyük fel továbbá, hogy X 1 és X 2 függetlenek. Igazoljuk, hogy X 1 X 2 normális eloszlású, és

  1. X 1 X 2 μ 1 μ 2 ,
  2. X 1 X 2 σ 1 2 σ 2 2 .

Az előző feladat eredménye természetes módon általánosítható n darab független normális eloszlású változó összegére. Az állítás lényegi része az, hogy az összeg is normális eloszlású; az összeg várható értékére és szórásnégyzetére vonatkozó állítások ugyanis tetszőleges független valószínűségi változók összegére igazak.

Legyen X normális eloszlású μ várható értékkel és σ 2 szórásnégyzettel. Igazoljuk, hogy ezek az eloszlások egy kétparaméteres exponenciális eloszláscsaládot alkotnak, ahol a természetes paraméterek μ σ 2 1 2 σ 2 , a természetes statisztikák pedig X X 2 .

Számolásos feladatok

Egy bizonyos márkájú sör üvegében a sör mennyisége normális eloszlású 0,5 liter várhatóértékkel és 0,01 liter szórással.

  1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy ilyen üvegben legalább 0,48 liter sör van?
  2. Határozzuk meg a sör mennyiségének 0,95 kvantilisét!

Egy bizonyos állvány összeszerelésénél egy fém rudat egy előre kialakított fémgyűrűbe kell helyezni. A hengeres fémrúd sugara normális eloszlású 1 cm várható értékkel és 0,002 cm szórással. A gyűrű belső sugara szintén normális eloszlású, melynek várható értéke 1,01 cm, szórása pedig 0,003 cm. A rudakat és a gyűrűket külön gyártósoron gyártják, így azok méretei egymástól függetlenek. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a rúd nem fér bele a gyűrűbe?

A kedvenc gyümölcsösömben termő őszibarackok tömege normális eloszlású, 8 uncia várható értékkel és 1 uncia szórással. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha öt barackot veszek, azok össztömege meghaladja a 45 unciát?