]> A Student-féle t eloszlás
  1. Virtual Laboratories
  2. 4. Nevezetes eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8
  11. 9
  12. 10
  13. 11
  14. 12
  15. 13
  16. 14
  17. 15

5. A Student féle t eloszlás

Ebben a fejezetben egy olyan eloszlással foglalkozunk, ami nagyon fontos a matematikai statisztikában. Nevezetesen, ilyen eloszlású egy normális eloszlásból származó minta átlagának az empirikus szórással való standardizáltja.

Sűrűségfüggvény

Legyen Z standard normális eloszlású, V pedig chi-négyzet eloszlású n szabadsági fokkal, továbbá Z és V függetlenek. Legyen

T Z V n .

A következő feladatban azt láthatjuk be, hogy T sűrűségfüggvénye a következő függvény

f t n 1 2 n n 2 1 t 2 n n 1 2 ,  t .

Igazoljuk a következő lépések segítségével, hogy T sűrűségfüggvénye az előbb megadott függvény!

  1. Először igazoljuk, hogy T feltételes eloszlása a V v feltétel mellett normális, 0 várható értékkel és n v szórásnégyzettel!
  2. Az (a) pont felhasználásával határozzuk meg a T V pár együttes sűrűségfüggvényét!
  3. A (b) részben kiszámolt együttes sűrűségfüggvényt integráljuk a v változó szerint, így megkapjuk T (perem)sűrűségfüggvényét.

A T változó eloszlását nevezik n szabadsági fokú Student féle t eloszlásnak. Az eloszlás minden n 0 esetén jól definiált, de csak egész n értékekre kapunk gyakorlati szempontból fontos eloszlást. Először William Gosset írta le ezt az eloszlást, aki a Student írói álnevet használta. Azon kívül, hogy az 1. feladat igazolja a sűrűségfüggvény alakját, egy fontos képet is ad a t eloszlásról, miszerint a t eloszlást kapunk, ha a 0 várható értékű normális eloszlás szórásnégyzetét egy bizonyos módon véletlenítjük.

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a Student t eloszlást. Változtassuk az n paraméter értékeit, és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját. Néhány n értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!

Vázoljuk a Student eloszlás sűrűségfüggvényét. Ehhez először igazoljuk, hogy az a n n n 2 jelöléssel:

  1. f szimmetrikus t 0 -ra,
  2. f növekvő a 0 és csökkenő a 0 intervallumon,
  3. a maximumát a t 0 helyen veszi fel,
  4. f konvex a a n és az a n intervallumokon és konkáv a a n a n intervallumon,
  5. az inflexiós pontjai t a n ,
  6. f t 0 amint t és amint t .
  7. Végül vegyük észre, hogy a n 1 amint n .

Speciálisan azt kaptuk, hogy az eloszlás unimodális (egycsúcsú), és a módusza, mely egyben a mediánja is, t 0 .

Az 1 szabadsági fokú t eloszlást nevezik Cauchy eloszlásnak (ezt Augustin Cauchy-ról nevezték el). Igazoljuk, hogy ennek sűrűségfüggvénye

f t 1 1 t 2 ,  t .

A Cauchy eloszlás sűrűségfüggvényét az alábbi függvény normálásával kapjuk

g t 1 1 t 2 ,  t .

Vegyük észre, hogy g az arkusz tangens függvény deriváltja. Egyes helyeken g gráfját Agnesi boszorkányának nevezik az olasz matematikus, Maria Agnesi tiszteletére.

Az általános t eloszlás eloszlásfüggvénye és kvantilis függvénye nem írható fel zárt elemi alakban. Közelítő értékeit azonban megkaphatjuk a t eloszlás táblázata, a kvantilis applet, vagy sok matematikai statisztikai programcsomag segítségével. Azonban a Cauchy eloszlás speciális esetében egyszerű formulák adódnak.

Jelölje F a Cauchy eloszlás eloszlásfüggvényét. Igazoljuk, hogy

  1. F t 1 t 12 ,  t ,
  2. F p p 12 ,  p 0 1 ,
  3. az alsó kvartilis t 1 , a felső kvartilis pedig t 1 .

A kvantilis appletben válasszuk a Student eloszlást. Változtassuk a paraméter értékeit, és figyeljük meg a sűrűség- és eloszlásfüggvények alakjait. Az alábbi esetek mindegyikében határozzuk meg a mediánt, az alsó és a felső kvartilis értékét és az interkvartilis terjedelmet!

  1. n 2
  2. n 5
  3. n 10
  4. n 20

Momentumok

Legyen T Student féle t -eloszlású n szabadsági fokkal. A fent tárgyalt valószínűségi változó reprezentációsegítségével meghatározhatjuk T várható értékét, szórásnégyzetét és egyéb momentumait.

Igazoljuk, hogy

  1. T nem létezik, ha n 0 1 ,
  2. T 0 ha n 1 .

Speciálisan a Cauchy eloszlásnak nem létezik a várható értéke.

Igazoljuk, hogy

  1. T nem definiált, ha n 0 1 ,
  2. T ha n 1 2 ,
  3. T n n 2 ha n 2 .

Vegyük észre, hogy T 1 amint n .

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a Student féle t eloszlást! Változtassuk az n paraméter értékét, és figyeljük meg a várható értéket és szórást jelölő intervallum helyét és hosszát! Az alábbi n értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és vessük össze az empirikus momentumok viselkedését a 7. feladatban és a 8. feladatban kapott elméleti eredményekkel:

  1. n 3 ,
  2. n 2 ,
  3. n 1 .

Igazoljuk, hogy

  1. T k nem definiált, ha k páratlan, és n 0 k ,
  2. T k ha k páros és n 0 k ,
  3. T k 0 ha k páratlan és n k ,
  4. ha k páros és n k , akkor T k k 1 2 n k 2 k 2 n 2 .

Normális approximáció

A korábbi feladatok megoldása során már észre vehettük, hogy a t sűrűségfüggvény nagyon hasonlít a standard normális sűrűségfüggvényhez. Pontosabban, a hasonlóság a következőt jelenti:

Igazoljuk, hogy rögzített t esetén

f t 1 2 12 t 2  amint   n .

A jobb oldalon megjelenő függvény természetesen a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye.

A fenti valószínűségi változó reprezentációban a nagy számok erős törvényét használva igazoljuk, hogy 1 valószínűséggel

  1. V n 1 amint n ,
  2. T Z amint n .

A t eloszlás nagyobb súlyt helyez a nagy abszolút értékű számokra és kisebbet a nulla közeliekre, mint a standard normális eloszlás.

Legyen T t eloszlású n 10 szabadsági fokkal. Határozzuk meg a következő mennyiségek valódi értékét (a kvantilis applet segítségével), és közelítsük is őket a normális approximációval. Vessük össze a közelítő értékeket a valódi értékekkel!

  1. 0.8 T 1.2 ,
  2. T 0,9 kvantilise.

  1. Virtual Laboratories
  2. 4. Nevezetes eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8
  11. 9
  12. 10
  13. 11
  14. 12
  15. 13
  16. 14
  17. 15