Ebben a fejezetben véletlen kísérletünk az, hogy újra-meg újra mintát veszünk visszatevéssel a populációból. Ez független valószínűségi változóknak egy sorozatát generálja, mindegyikük egyenletes eloszlású a halmazon:
Gyakran fogjuk interpretálni a mintavételt a kupongyűjtővel kifejezve: mindig, amikor a gyűjtő megvásárol egy bizonyos terméket (például rágógumit, vagy Cracker Jack-et), kap egy kupont (például egy baseball kártyát, vagy egy játékot), amely típus közül lehet az egyik, azonos valószínűséggel. Így ebben az elrendezésben a kupon típusa, amit az -edik vásárláskor kapunk.
Jelölje az első vásárlásban a különböző értékek számát -re. Ez a születésnapi probléma fejezetének utolsó részében vizsgált (tanulmányozott) valószínűségi változó. Figyelmünket ebben a fejezetben a minta méretére fordítjuk, hogy különböző mintaértéket kapjunk -re. Így legyen
.A kupongyűjtéssel kapcsolatban ez a valószínűségi változó azt a megvásárolandó termékszámot adja meg, ami ahhoz kell, hogy különböző kupontípust kapjunk. Megjegyezzük, hogy különböző értékeinek a halmaza . Különösen az érdekel minket, hogy mennyi , vagyis a mintaméret ahhoz, hogy megkapjuk a teljes populációt. A kupongyűjtéssel megfogalmazva: ennyi terméket kell megvásárolni ahhoz, hogy megkapjuk a teljes kupon halmazt.
A kupongyűjtés kísérletben a paraméterek kiválasztott értékeire néhányszor végezzük el a kisérletet lépésenként megszakított módszerrel.
Most találjuk meg eloszlásfüggvényét. Az előző rész eredményei nagyon hasznosak lesznek.
Lássuk be, hogy akkor és csak akkor, ha és .
Felhasználva a 2. gyakorlatot és a feltételes valószínűségről tanultakat mutassuk meg, hogy
Felhasználva az előző gyakorlat eredményét és az utolsó részben szerepelt eloszlását, mutassuk meg, hogy
A kupongyűjtés kísérletben változtassuk a paramétereket és figyeljük meg a sűrűségfüggvény helyzetét és alakját. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve és figyeljük meg a relatív gyakoriság függvény sűrűségfüggvényhez való nyilvánvaló konvergenciáját.
A mintaméret eloszlásának egy alternatív megközelítéséhez szükség van különböző értékre egy rekurziós formula segítségével.
Legyen Felhasználva a feltételes valószínűségről tanultakat, mutassuk meg, hogy
Meg fogjuk mutatni, hogy független, geometriai eloszlású valószínűségi változó dekompozíciója lehet. Ez további betekintést nyújt az eloszlás természetébe és könnyen elvégezhetővé teszi a várható érték és a szórásnégyzet számítását.
, esetén jelölje a további minták számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy az különböző értéket tartalmazó mintából különböző értékű legyen.
Bizonyítsuk be, hogy
A 7. gyakorlat világosan mutatja, hogy minden alkalommal, amikor egy új kupont kaptunk, az nehezebbé teszi a következő új kuponhoz való jutást.
A kupongyűjtés kísérletben a paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet néhányszor a lépésenként megszakított módszerrel. Speciálisan próbáljuk meg ezt nagy és -hez közeli értékre.
Felhasználva a 7. gyakorlat eredményeit, mutassuk meg, hogy
A kupongyűjtés kísérletben változtassuk a paramétereket és figyeljük meg a várható érték/standard szórás grafikonjának helyét és alakját. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve és figyeljük meg a mintaátlag és a standard szórás nyilvánvaló konvergenciáját a várható értékhez és az elméleti standard szóráshoz.
Felhasználva a 7. gyakorlat mutassuk meg, hogy
generátorfüggvényeTételezzük fel, hogy addig veszünk mintát egy emberekből álló populációból, ameddig nem kapunk 40 különböző születésnapot.
Tételezzük fel, hogy egy szabályos dobókockát addig dobunk, amíg 6-ost nem dobunk.
Egy bizonyos gabonapehely-márkának a doboza egy speciális játékot tartalmaz. Mindegyik dobozban 10 különböző játék valamelyike van elhelyezve. Egy gyűjtő mindaddig vásárol dobozokat, ameddig össze nem gyűjti a 10 játékot.