Tételezzük fel, hogy adott objektumnak egy populációja. . A populáció lehet egy kártyacsomag, egy golyókkal teli urna, vagy tetszőleges számú adatgyűjtemény. Sok esetben a populáció tagjait 1-től -ig megjelöljük olymódon, hogy . Más esetekben (mint pl. a kártyakísérlet) vektorokkal természetesebb módon tudjuk megjelölni az objektumokat. Mindegyik esetben rendszerint -nak részhalmaza valamilyen -ra.
Alapkísérletünk abból áll, hogy objektumot véletlenszerűen kiválasztunk a populációból és a kiválasztott objektumoknak egy sorozatát vesszük fel:
ahol , azt jelenti, hogy az -edik objektumot választtottuk ki. Ha a mintavétel visszatevéses, akkor az mintaméret tetszőleges pozitív egész lehet. Ebben az esetben a mintatér
Ha a mintavétel visszatevés nélküli, akkor az mintaméret nem lehet nagyobb, mint az populációméret. Ebben az esetben az mintatér az méret összes olyan permutációjából áll, amely -ből lett választva:
Mutassuk meg, hogy
A mintavétel bármelyik típusánál tegyük fel, hogy a minták ugyanolyan valószínűek és így azt, hogy a kimeneti változó egyenletes eloszlású az halmazon; ez a véletlen minta kifejezése:
Újra tételezzük fel, hogy egy elemű mintát választunk ki véletlenszerűen a populációból visszatevéssel, vagy visszatevés nélkül.
Mutassuk meg, hogy mindegyik permutációja ugyanolyan eloszlású, mint , nevezetesen egyenletes eloszlású a megfelelő mintatéren:
Valószínűségi változóknak egy sorozatát, amely az utolsó gyakorlatban megadott tulajdonságú, cserélhetőnek mondunk. Bár ez a tulajdonság nagyon egyszerűen megérthető mind intuitív, mind matematikai szempontból, ennek ellenére nagyon fontos. A cserélhető tulajdonságot gyakran fogjuk használni ebben a fejezetben.
Általánosabban, mutassuk meg, hogy az kimeneti változó bármely sorozata egyenletes eloszlású
Speciálisan bármelyik mintavételi módszer estén egyenletes eloszlású a halmazon minden -re.
Mutassuk meg, hogy ha az mintavétel visszatevéses, akkor ő független valószínűségi változóknak egy sorozata!
Így, amikor a mintavétel visszatevéses, a mintaváltozók az egyenletes eloszlásból vett véletlen mintát alkotnak, technikai szempontból.
Mutassuk meg, hogy ha a mintavétel visszatevés nélküli, akkor az eredményváltozók egy elemű sorozatának feltételes eloszlása, az egyenletes eloszlás (azon méretű permutációknak a halmazán, amelyek egy olyan populációból vannak választva, amikor ismert változóértéket törlünk), ahol a feltételes eloszlás feltétele az, hogy adottak egy elemű eredményváltozó sorozatnak az értékei (természetesen, ).
Speciálisan és függetlenek minden különböző és értékekre, amikor a mintavétel visszatevés nélküli.
Sok esetben, kiváltképpen amikor a mintavétel visszatevés nélküli, az objektumok kiválasztási sorrendje nem fontos, csak a kiválasztott objektumok (rendezetlen) halmaza lényeges:
Tételezzük fel, hogy a mintavétel visszatevés nélküli. Ebben az esetben az értékeit a halmazból kiválasztott elemű kombinációk halmazából veszi, amelyek a:
Mutassuk meg, hogy .
Mutassuk meg, hogy egyenletes eloszlású felett:
Útmutatás: A -ből vett minden elemű kombinációja esetén létezik elemű darab elemű permutációja van. permutáció.
Ha a mintavétel visszatevéses, akkor -nek 1-től db részhalmazából veszi fel értékeit:
Mutassuk meg, hogy .
Mutassuk meg, hogy nem egyenletes eloszlású a halmazon.
A következő táblázat az elemű populációkból választott elemű minták számát tartalmazza, amely a rendezés és a visszatevés kritériuma szerint van bontva.
| Rendezéssel | Rendezés nélkül | |
|---|---|---|
| Visszatevéssel | ||
| Visszatevés nélkül |
Tételezzük fel, hogy az populációból egy 2 elemű mintát választottunk. Explicit módon vegyük jegyzékbe a következő esetekben az összes mintát:
Egy dichotóm populáció két típusú objektumot tartalmaz.
Tételezzük fel, hogy egy 100 komponensű tétel 10 hibásat tartalmaz. Visszatevés nélkül kiválasztunk egy 5 elemű véletlen mintát. Számítsuk ki a annak a valószínűségét, hogy közülük legalább egy tétel hibás!
Egy urna 50 golyót tartalmaz, 30 pirosat és 20 zöldet. Véletlenszerűen választunk egy 15 elemű mintát. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy a kiválasztottak között 10 piros golyó lesz; az alábbi esetekre:
Az előbbi golyós urnakísérletben válasszunk egy 15 elemű véletlen mintát. Végezzük el a kísérletet 100-szor, mindegyik kísérlet után frissítve. Számítsuk ki a következő esetekre annak az eseménynek a relatív gyakoriságát, hogy a minta 10 piros golyót tartalmaz és hasonlítsuk össze az előző gyakorlatban kiszámított megfelelő valószínűségekkel:
Tételezzük fel, hogy egy klubnak 100 tagja van, 40 férfi és 60 nő. Véletlenszerűen választunk egy 10 tagú bizottságot (természetesen visszatevés nélkül).
Tételezzük fel, hogy egy kis tavacska 500 halat tartalmaz, köztük 50 meg van jelölve. A halász véletlenszerűen kifog 10 halat. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy a zsákmány legalábbb 2 megjelölt halat tartalmaz!
Az alaphelyzet az, hogy egy dichotóm populációból, visszatevés nélküli mintavétel útján származtatjuk az adatokat. Ezt a hipergeometrikus eloszlásról szoló fejezetben fogjuk tárgyalni . Általánosabban multi-típusú populációnak nevezzük a különböző típusból álló objektumok halmazát.
Tételezzük fel, hogy egy törvényhozói testület 60 republikánusból, 40 demokratából és 20 függetlenből áll. Egy 10 tagú bizottságot választanak véletlenszerűen. Adjuk meg annak valószínűségét, hogy legalább egy párt nem képviselteti magát a bizottságban. Útmutatás: Használjuk a bennfoglalás-kizárás törvényt.
Az alapeoszlást, ami a több-típusú populációból való visszatevés nélküli mintavételnél merül fel, a többváltozós hipergeometrikus eloszlás fejezetben tárgyaljuk.
Emlékeztetünk arra,hogy a standard kártyacsomag a következőképpen egy direkt szorzattal modellezhető:
ahol az első koordinátát a neve, vagy fajtája (ász, 2-10, jumbó, dáma, király) és a második koordinátát a színe (treff, káró, kőr, pikk) kódolja. Az általános kártyakísérlet kártya visszatevés nélküli véletlenszerű húzásából áll a kártyacsomagból. Így az -edik kártya ahol a kártya értéke és a kártya színe. Az eset a póker kísérlet és az a bridge kísérlet. Ami az értékeket vagy a színeket illeti, megjegyezzük, hogy a kártyacsomag a fentebb említett módon egy több-típusú populáció.
Az kártyakísérletben (póker) mutassuk meg, hogy
Az kártyakísérletben (bridge) mutassuk meg, hogy
A kártyakísérletben legyen . Végezzük el a kísérletet 5-ször és mindegyik futásnál listázzuk ki az összes lehetséges rendezett sorozatát a megfigyelt öt rendezetlen kártyának.
A kártyakísérletben mutassuk meg, hogy
A kártyakísérletben mutassuk meg, hogy és függetlenek minden és esetén.
A kártyakísérletben mutassuk meg, hogy és függetlenek. Hasonlítsuk össze ezt az eredményt az előző gyakorlattal.
Tételezzük fel, hogy 5 kártyát osztottunk (sorrend számít).
Végezzük el a kártyakísérletet 500-szor, mindegyik kísérlet után frissítve. Számítsuk ki az előző gyakorlatban szereplő mindegyik valószínűséghez a megfelelő relatív gyakoriságot!
Adjuk meg annak valószínűségét, hogy egy bridge leosztás nem tartalmaz honor kártyákat azaz olyan kártyát, aminek az értéke 10-es, jumbó, dáma, király, vagy ász! Az ilyen leosztást Yarborough leosztásnak nevezzük Yarborough második grófja után.
Feldobva szabályos kockát, az ekvivalens azzal, hogy az populációból véletlenszerűen húzunk egy elemű mintát visszatevéssel. Általában a populációból való elemű visszatevéses véletlen mintavétel ekvivalens egy -oldalú szabályos kocka -szer történő feldobásával.
A kockapókerban 5 standard szabályos kockát dobunk fel.
Végezzük el a póker kockakísérletet 500-szor mindegyik kísérlet után frissítve. Számoljuk ki az előző gyakorlatban szereplő eseményekhez a relatív gyakoriságot és hasonlítsuk össze a megfelelő valószínűséggel!
A kocka póker játékot részletesebben dolgozzuk fel a Szerencsejátékok fejezetben.
Tételezzük fel, hogy kiválasztunk személyt véletlenszerűen és feljegyezzük a születésnapját. Ha feltételezzük, hogy a születésnap egyenletes eloszlású egy évben, és ha eltekintünk a szökőévtől, akkor ez a kísérlet ekvivalens egy a halmazból vett elemű visszatevéses mintavétellel. Hasonlóan a születési hónapokra, vagy születési hetekre is igaz ez.
Tételezzük fel, hogy egy matematikai osztályban 30 hallgató van.
A születésnap kísérletben legyen és . Végezzük el a kísérletet 100-szor, mindegyik kísérlet után frissítve. Számoljuk ki az előző gyakorlatban szereplő eseményekhez a relatív gyakoriságot és hasonlítsuk össze a megfelelő valószínűséggel.
A születésnap problémával későőbb foglalkozunk (ebben a fejezetben).
Tételezzük fel, hogy szétosztunk különböző golyót különböző cellába véletlenszerűen. Ez a kísérlet is megfelel az alpmodellnek, ahol celláknak egy populációja és az a cella, amelyik tartalmazza az -edik golyót. A visszatevéses mintavétel azt jelenti, hogy egy cella több, mint egy golyót tartalmazhat; a visszatevés nélküli mintavétel azt jelenti, hogy egy cella legfeljebb egy golyót tartalmazhat.
Tételezzük fel, hogy 5 golyót helyeztünk el 10 cellába (megszorítások nélkül).
Tételezzük fel, hogy ha egy bizonyos terméket (pédául rágógumit vagy zabpehelyhet) vásárolunk, akkor kapunk egy kupont (pl. egy baseball kártyát vagy egy kis játékot) amely típus közül kerülhet ki. Gondolhatunk erre a kísérletre, mint egy kupontípusokból történő visszatevéses mintavételre; legyen az -edik vásárlásra kapott kupon.
Tételezzük fel, hogy egy gyorsétteremben egy gyerekmenühöz ajándékba egy játék is jár. A játék 5 típus bármelyike lehet egyenlő valószínűséggel. Tételezzük fel, hogy egy mama három gyermekének vásárol gyerekmenüt.
A kupongyűjtő problémát ebben a fejezetben később tárgyalni fogjuk.
Tételezzük fel, hogy egy személynek kulcsa van, amely közül az egyik nyit egy bizonyos ajtót. Az illető véletlenszerűen próbálkozik a kulcsokkal. Jelölje a kísérletek számát, mire megtalálja a jó kulcsot.
Tételezzük fel, hogy a rossz kulcsokat félreteszi (természetesen, ez egy ésszerű dolog). Mutassuk meg, hogy
Tételezzük fel, hogy a rossz kulcsokat nem tesszük félre (talán az illető egy kicsit sokat ivott). Mutassuk meg, hogy
Könnyű szimulálni egy halmazból vett elemű visszatevéses mintát. Emlékeztetünk arra, hogy a felső egészrész függvény az a legkisebb egész szám, ami nagyobb, vagy egyenlő, mint .
Legyen véletlen számoknak egy sorozata. Ezek független valószínűségi változók, mindegyike egyenletes eloszlású a intervallumban. Mutassuk meg, hogy minden esetén egy visszatevéses véletlen mintát generál a halmazon.
Egy kicsit nehezebb elemű visszatevés nélküli mintát generálni, mivel a következő húzás előtt törölni kell a már kihúzott mintaelemeket.
Mutassuk meg, hogy a következő algoritmus egy elemű, visszatevés nélküli -ből vett véletlen mintát generál.