]>
Mint az alap mintavételi modellben, egy véges objektumból álló populációból indulunk ki. Ebben a részben feltételezzük, hogy a lehetséges objektum típusok száma ; azaz van egy u.n. multi-típusú populációnk. Például különböző színű labdákkal tele urnánk, vagy az alábbi típusú választók: demokrata, republikánus, vagy független. Jelölje az típusú objektumok halmazát és legyen minden -re. Így
A korábban vizsgált dichotom modell nyilvánvalóan egy speciális esete ennek, értékkel. Mint az alap mintavételi modellnél, egy elemű véletlen mintát veszünk a -ből:
ahol azt jelenti, hogy az -edik objektumot választottuk. Jelölje most a mintában lévő típusú objektumok számát -ra. Megjegyezzük, hogy
így ha ismerjük a számláló válozó értékét, meg tudjuk adni a megmaradó számláló változó értékét. Mint minden számláló változóval, ki tudjuk fejezni -t, mint indikátor változók össegét:
Mutassuk meg, hogy
Először tételezzük fel, hogy a mintavétel visszatevés nélküli, mivelhogy a legtöbb alkalmazásban ez egy reális feltevés.
Alapvető kombinatorikai érveléseket tudunk használni a számláló változók véletlen vektora sűrűségfüggvényének a levezetéséhez. Emlékezzünk vissza, hogy mivel a mintavétel visszatevés nélküli, a rendezetlen minta egyenletes eloszlású a -ből vett -ed osztályú kombinációk felett.
Mutassuk meg, hogy
eloszlását , , és paraméterű többváltozós hipergeometrikus eloszlásnak nevezzük. Azt is mondjuk, hogy ezzel az eloszlással rendelkezik (újra emlékeztetünk arra, hogy bármelyik változónak az értékei meghatározzák a maradék változó értékét). Rendszerint ez nyilvánvaló az összefüggésből, amelynek a jelentését szándékozzuk kifejezni. A normál hipergeometrikus eloszlás megfelel a értéknek.
Mutassuk meg a többváltozós hipergeometrikus sűrűségfüggvény következő alternatív formáját kétféle módszerrel: kombinatorikusan, a -ből vett elemű permutáció felett egyenletes eloszlású rendezett minta vizsgálatával és algebrai módszerrel, a 2. gyakorlat eredményéből kiindulva.
Mutassuk meg, hogy , és paraméterű hipergeometrikus eloszlás. Adjunk két valószínűségelméleti igazolást, egy mintavételen alapuló és egy analitikus levezetést, amely a 2. gyakorlatban szereplő együttes sűrűségfüggvényen alapul.
A többváltozós hipergeometrikus eloszlás megőrződik, amikor a számláló változóval kombináljuk. Speciálisan, tételezzük fel, hogy az indexhalmaznak egy particiója nem üres diszjunkt részhalmazokba. Legyen
Mutassuk meg, hogy , , és paraméterű hipergeometrikus eloszlású.
A többváltozós hipergeometrikus elsozlás akkor is megőrződik, amikor több számlálóváltozót figyelünk meg. Speciálisan tételezzük fel, hogy az indexhalmaznak egy particiója nem üres diszjunkt részhalmazokba. Tételezzük fel, hogy megfigyeljük az eseményt -re. Legyen
Mutassuk meg, hogy feltételes eloszlása feltétel mellett , , és paraméterű többváltozós hipergeometrikus eloszlású.
Az 5. gyakorlat és a 6. gyakorlat alaperedményeit kombinálva ki tudjuk számolni mindegyik marginális eloszlás vagy a számláló változók feltételes eloszlásait.
Ki fogjuk számolni a számláló változók várható értékét, szórásnégyzetét, kovarianciáját, és korrelációját. Az eredményekhez a legfontosabb eszközöket a hipergeometrikus eloszlásból és az 1. gyakorlatban az indikátor változóval kapcsolatos reprezenátcióból nyerjük.
Mutassuk meg, hogy esetén
Tételezzük fel, hogy és az különböző elemei és hogy valamint különböző elemei. Mutassuk meg, hogy
Tételezzük fel, hogy és különböző elemei és hogy valaimnt különböző elemei. Mutassuk meg, hogy
Speciálisan, és különböző -re és -re, minden és esetén negatívan korreláltak. Ez az eredmény ésszerűnek tűnik?
Felhasználva a 7. gyakorlat és a 8. gyakorlat eredményét, mutassuk meg, hogy az -ből vett különböző és esetén
Tételezzük fel, hogy a mintavétel visszatevéses, annak ellenére, hogy ez rendszerint az alkalmazásokban nem valószerű.
Mutassuk meg, hogy a mintában lévő objektumok típusai egy paraméterű polinomiális kísérlet egy sorozatából vett minta elemei.
A következő eredmények a polinomiális kísérletek általános elméletőből közvetlenül származtathatók, annak ellenére, hogy a fenti bizonyítások módosítását használhatjuk.
Mutassuk meg, hogy és paraméterű polinomiális eloszlású.
Mutassuk meg, hogy -ből vett különböző és értékekre
Tételezzük fel, hogy a populáció mérete az mintamérethez viszonyítva nagyon nagy. Ebben az esetben az tűnik elfogadhatónak, hogy a visszatevés nélküli mintavétel nem nagyon különbözik a visszatevéses mintavételtől és ezért a többváltozós hipergeometrikus eloszlást polinomiális eloszlással jól tudjuk közelíteni. A következő gyakorlat ezt teszi pontosabbá. Gyakorlatilag ez értékelhető eredmény, mivel sok esetben nem ismerjük pontosan a populáció méretét.
Tételezzük fel, hogy -től függ és, hogy ha -re. Mutassuk meg, hogy fix esetén az , , és paraméterű többváltozós hipergeometrikus sűrűségfüggvény az és paraméterű polinomiális sűrűségfüggvényhez konvergál. Útmutatás: Használjuk a 3. gyakorlatban szereplő reprezentációt.
Egy 100 szvazóból álló populációban 40 republikánus, 35 demokrata és 25 független van. Válasszunk egy 10 elemű véletlen mintát.
Emlékeztetünk arra, hogy az általános kártyakísérlet abból áll, hogy kártyát választunk az 52 lapos kártyacsomagból véletlenszerűen, visszatevés nélkül. Az speciális eset a póker kísérlet, és az speciális eset a bridge kísérlet.
A bridge leosztásban (egy bridge kézben) adjuk meg
Egy bridge kézben
Egy bridge kézben
Ha egy kártyakísérletben egy kéz nem tartalmaz valamilyan színt, akkor azt mondjuk, hogy színmentes ebből a színből.
Felhasználva a bennfoglalás-kizárás szabályt mutassuk meg, hogy annak a valószínűsége, hogy egy pókerkéz legalább egy színből színmentes
A kártyakísérletben, legyen . Végezzük el a kísérletet 1000-szer, minden kísérlet után frissítve. Számítsuk ki annak az eseménynek a relatív gyakoriságát, hogy a kéz legalább egy színből színmentes. Hasonlítsuk össze a relatív gyakoriságot az előző gyakorlatban megadott valódi valószínűséggel.
Felhasználva a bennfoglalás-kizárás szabályt mutassuk meg, hogy annak a valószínűsége, hogy egy bridge kéz színmentes legalább egy színben