Neumann János

Fiatalkori évek

Neumann János 1903. december 28-án született egy bankár család legidősebb fiaként Budapesten. A tágabb értelemben vett család a mai Bajcsy-Zsilinszky út, akkor Váci körút, 62. szám alatti épület öt különálló lakását lakta. Neumann János kiváló képességei már gyerekkorában megnyilvánultak. Egy több helyen is olvasható történet szerint, Jancsi hat éves korában nyolc jegyû számokat osztott fejben, és nagyszerû memóriával rendelkezett.

A Neumann család háza mai formájában

Neumann János olyan neveltetésben részesült, amelynél jobbat és hatékonyabbat nehéz elképzelni. Egy francia és egy német anyanyelvû házvezetőnő felváltva szolgált a "62-es számú ház" családjainál, hogy a gyerekek már korán elsajátíthassák ezt a két nyelvet. Neumann János elemi iskolai tanulmányait magánúton végezte. A gazdag családi könyvtár 44 kötetes német nyelvû világtörténelem sorozata kedvenc olvasmányai közé tartozott, végig is olvasta, és hihetelen memóriájában "rögzítette" az anyagot. 11 éves korában, 1914-ben lett a fasori Evangélikus Gimnázium tanulója. Rácz László, a gimnázium matematikatanára, azonnal felismerte Neumann kiütköző matematikai adottságait, kapcsolatba lépett Kürschák Józseffel, és így az ifjú Neumann különleges oktatásban részesülhetett. Első tanára a korábban szintén csodagyerek Szegő Gábor volt, aki később a matematikai analízis világszerte elismert kiválósága lett. Szegő felesége szívesen mesélte, hogy férje könnyes szemmel jött haza a fiatal zsenivel való első találkozása után. Ortvay Rudolf fizika professzor és Fejér Lipót matematika professzor a Neumann család gyakori vendégei voltak. János matematikai tehetségének kibontakoztatásához kiváló matematikusi elmék járultak hozzá. Fejér Lipót nagy nemzetközi tekintélye révén patronusként is ott állt a fiatal Neumann mögött.

A fasori Evangélikus Gimnázium

        Neumann első matematikai dolgozatát 17 évesen írta Fekete Mihállyal. Apja kívánságára - Wigner Jenőhöz hasonlóan - Neumann kémiai tanulmányokba kezdett, először Berlinben (1921-1923), majd Zürichben (1923-1925). A kitûzött cél az anyagilag kecsegtetőbb vegyésznérnöki diploma megszerzése volt. Közben Neumann egyébként 1921-től 1925-ig a budapesti tudományegyetem matematika-fizika szakos rendes hallgatója is volt, de külföldi tartózkodása miatt az előadásokat természetesen nem látogatta. (A karácsonyi és a nyári szünidőben rendszeresen hazalátogatott, ilyenkor tette le vizsgáit.)

        A XX. század elejének ünnepelt matematikusa David Hilbert volt, aki a párizsi, 1900-ban tartott matematikai kongresszuson 23 problémában foglalta össze a matematika általa legfontosabbnak ítélt kérdéseit. Hilbert az axiomatizálás híve volt, és a matematika egyes ágai mellett a fizikát is axiomatizálni szerette volna. Mivel a matematika jó része a halmazelméletre épül, a halmazelmélet axiomatizálása is napirenden volt, az igényt a halmazelméleti paradoxonok is erősítették. Ez lehetett az oka annak, hogy a fiatal Neumann János is foglalkozni kezdett a kérdéssel, doktori értekezését "Az általános halmazelmélet axiomatikus felépítése" címmel 1926-ban védte meg Budapesten, de első halmazelméleti dolgozata már 1923-ban megjelent a "rendszámokról".

        Neumann 1925-ben így írt tisztelt tanárához, Fejér Lipóthoz Zürichből: "Itt csak az az újság van, hogy Hilbert itt volt, és egy előadást tartott "Über das Unendliche (A végtelenről)", azaz, lényegében a Wiederspruchfreiheit-ról (az ellentmondásmentességről). Weyl bemutatott neki, és Hilbert hívott pünkösdre Göttingenbe. Valószínûleg odamegyek.'' Neumann számára így megnyílt az út a matematika akkori fellegvárába, 1926 őszétől Göttingenben dolgozott. James Franck és Max Born, két Nobel-dijas fizikus, ugyancsak Göttingenben dolgoztak, tehát az egyetem nem csupán matematikai központ volt. Érthető, hogy a fiatal Heisenberg éppen itt tartott előadásokat új elméletéről, ami aztán a kvantummechanika elnevezést kapta.

Kvantummechanika és Hilbert-terek

        A XX. század eleje a funkcionálanalízis kialakulásának időszaka volt. A Lebesgue-integrál ráirányította a figyelmet a különféle függvényterekre, az ortogonális sorfejtések és a integráloperátorok elméletének születése volt jellemző az időszakra. David Hilbert ezen a területen is nagyot alkotott, és Riesz Frigyesnek sem kellett szégyenkeznie mellette. Neumann János Göttingenben egyidejûleg ismerkedett meg Heisenberg kvantummechanikájával és Hilbert integráloperátoraival. A kvantummechanika alapjairól szóló első cikkét 1927-ben írta, Hilberttel és Nordheimmel együtt. A dolgozat alapjául Hilbert előadásai szolgáltak, az előszó szerint Neumann egyes matematikai részletek kidolgozásában vett részt. A szerzők tárgyalják a ``kanonikus'' p és q operátorokat és transzformációjukat, de az olvasó még nem láthatja a Neumannra annyira jellemző világos axiomatikus felépítést, amire nem kellett soká várni. Ugyanebben az évben jelenik meg első önálló dolgozata a témáról, aminek másságát már a cím is igyekszik kifejezni: "A kvantummechanika matematikai megalapozása". Itt fogalmazódik meg először az absztrakt Hilbert-tér fogalma abban a formában, ahogy azt az iskolában tanítjuk: egy komplex vektortér, rajta értelmezett belső szorzattal, és megköveteljük, hogy a Cauchy-féle sorozatok legyenek konvergensek a belső szorzatból származtatott normára. Ez persze csak egy csinos apróság a matematika szempontjából és egy szilárd matematikai alap a kvantumelmélet szemszögéből.

        Neumann nehezen állta a Dirac-féle deltafüggvényt, ami "mindenütt nulla, csak a nullában végtelen, de ott úgy végtelen, hogy bármilyen más folytonos függvénnyel megszorozva az integrál a függvény nullában felvett értéke lesz". Neumann a nem matematikai tudományok formális, vagy heurisztikus meggondolásait nem tekintette értéktelennek, mint azt sok matematikus ma is teszi, de meggyőződése volt az, hogy a matematika egyik feladata pontosan az, hogy megtalálja az egzakt formalizmust az ilyen esetekre is. Pontosan ezt tette ő a kvantumelmélet kapcsán, megteremtette annak Hilbert-tereken alapuló formalizmusát. Eközben egy teljesen új területet hozott létre, a nem-korlátos lineáris operátorok elméletét.

        A kvantumelmélet legtöbb lényeges operátora nem korlátos, mint például a fennt említett p és q operátorok, de e rossz tulajdonság mellett jó tulajdonságuk is van, nevezetesen, szimmetrikusak. Hilbert gyönyörû tételt bizonyított a korlátos szimmetrikus operátorokra, spektrál tétele azt mondja, hogy az ilyen operátorok a projekció operátorokból egy jól meghatározott módon keverhetők ki. Azt is lehetne mondani, hogy diagonalizálhatók, mert véges mátrixokra vonatkoztatva a spekrál tétel a szimmetrikus mátrixok diagonalizálhatóságát adja vissza. A végtelen dimenziós tér pusztán szimmetrikus operátoraival nem lehet jól bánni, mert nincsen olyan számolási eljárás, amely ezt egzakt módon lehetővé teszi.

        Neumann János ismerte fel azt a szűkebb osztályát a szimmetrikus operátoroknak, amire Hilbert spekrál tételének van megfelelője. Ezeket ő maximálisan szimmetrikus, vagy önadjungált operátoroknak nevezte. Egy szimmetrikus operátorhoz több önadjungált operátor is tartozhat, de az is előfordulhat, hogy egy szimmetrikus operátornak egyáltalán nincsen önadjungált kiterjesztése. A lehetőségeket Neumann pontos vizsgálatnak vetette alá. A talán túlságosan részletes matematikai kifejtésért a tisztelt olvasó elnézését kérem, de mivel ez a témakör a Neumannról szóló írásokból rendszerint kimarad, úgy gondolom itt és most a hiány pótolható.

        Áttérve a szimmetrikus és önadjungált operátorokkal kapcsolatos könnyedebb dolgokra, leírok egy közszájon forgó történetet, ami egy kicsit a tudománytörténet fintora is. K.O. Friedrichs, aki Neumann követője volt a differenciál- és más nem-korlátos operátorok kutatásában, az 1960-as években találkozott Heisenberggel, és a matematikus társadalom nevében kifejezte elimerését a kvantummechanika létrehozásáért, ami azután igényt teremtett a Hilbert-terek lineáris operátorainak vizsgálatára. Heisenberg jólesően nyugtázta az elismerést. Ezután Friedrichs hozzátette, hogy a matematikusok viszonozták a szívességet. Miután Heisenberg nem látszott érteni, hogy mire is gondol, megmagyarázta: Egy Neumann János nevű matematikus tisztázta a pusztán szimmetrikus és az önadjungált operátorok közötti különbséget. Ezen Heisenberg kicsit meglepődött, "Van különbség?" - kérdezte.

        A kvantummechanika, a klasszikus mechanikával szemben, egy sztochasztikus-statisztikus elmélet, amely az egyszerű szemlélő számára sokszor érthetetlen eljárásokkal és paradoxonokkal van tarkítva. Utóbbiak nagy része fel sem merül, ha a logika és valószínűség Hilbert-teres felfogását követjük. Ebben a rendszerben az események továbbra is hálót alkotnak, de nem Boole-algebrát, a valószínűségi változók szerepét önadjungált operátorok veszik át, és le kell mondanunk bizonyos esetekben az együttes eloszlások használatáról. Neumann a kvantumelmélet sztochasztikus felfogását is rendszerezte, és megalapozott egy nem kolmogorovi valószínűségelméletet.

        Neumannt egyszer megkérdezték, hogy mit tart legfontosabbnak matematikusi munkásságából. A kvantumechanika matematikai megalapozását tartotta annak. Az erről szóló örök értéket jelentő könyve 1932-ben jelent meg német nyelven. Ekkor Neumann már az Egyesült Államokban dolgozott.

Neumann kvantummechanikáról írt könyve japán kiadásban

Operátorgyűrűk

        Neumann János 1930-ban érkezett meg a Princetoni Egyetemre, örömmel fogadva el a kedvező feltételeket ajánló vendégprofesszori meghívást. Feladata az volt, hogy előadásokat tartson a matematikai fizikáról és a kvantumelméletről. Évekkel később határozottan foglalt állást, amikor kijelentette, hogy ő nem politikai menekültként érkezett az Egyesült Államokba, bár az európai politika rossz irányú fordulatát előre láthatta. Amikor 1933-ban az Institute of Advanced Studies megalakult, ő volt a hat alapító professzor egyike Albert Einstein és Hermann Weyl mellett.

        Érdekes, hogy Einsteinnel nem alakult ki szakmai kapcsolata a modern fizika kapcsán. Ennek a cikk írója szerint legalább két oka is lehetett. Az egyik az, hogy a kvantumelmélet Neumann kutatásaiban 1936 után némileg visszaszorult, mondhatnánk azt, hogy Neumann megalkotta a maga rendszerét. Másrészt, Albert Eistein és Neumann János nagyon különböző alkotó egyéniségek lehettek, akik csak nehezen kerülnek szakmai kölcsönhatásba egymással.

        Ha a kortársakkal való kapcsolatáról folyik a szó, akkor említésre érdemes a magyarországi kiválóságokhoz való viszonya. Fejér Lipóttal való meghitt és hálás tanítvány-tanár kapcsolatát fent már érintettük. Haar Alfréddal is intenzív levelezésben volt, az invariáns mértékek kötötték össze érdeklődésüket. Lokálisan kompakt topologikus csoportok invariáns mértékének létezését és egyértelműségét Haar Alfréd bizonyította 1933-ban. Pontosabban szólva ez a publikálás éve volt, levelezésből az eredményt legalább másfél évvel korábban ismerte Neumann. Neumann könyve az invariáns mértékekről csak 1999-ben jelent meg. Az Institute-ban tartott előadássorozatot Paul Halmos, Neumann magyar származású aszistense jegyzetelte le, az ő jegyzete másolata másolatának a másolatáról készült a könyv. A 130 oldalas munka ma is forgatásra érdemes, nagyon jól kiemeli a lényeges gondolatokat, de bevezetőként nem ajánlható, nem is könyvnek szánta szerzője.

1999-ben megjelent könyve

Fejér Lipót és Riesz Frigyes gyakran nyaraltak együtt Lillafüreden, egy ízben az Amerikából hazalátogató Neumann Jánost is sikerült elhívniuk. Neumann és Riesz legerősebb szakmai kapcsolódási pontja az ergodikus tétel volt. A statisztikus fizika ergodikus hipotézisét Koopmann a Hilbert-terek nyelvére fordította, és az unitér operátorokra vonatkozó megfelelő állítást Neumann bebizonyította. Neumann eredményére Riesz Frigyes adott egy nagyon frappáns bizonyitást, sőt más függvényterekre is kiterjesztette a tételt. Amíg Neumann a XX. század legnagyobb hatású matematikusa volt, addig Riesz Frigyes az egyik legelegánsabb. (Az "egyik" szó egészen biztosan elhagyható, ha a funkcionálanalizis területére korlátozzuk a kijelentést.) Neumann-nak nagyon tetszett a Riesz-féle bizonyítás, a hozzá írt levélben "rendkívül elegáns"-nak nevezi, és arra kéri őt, hogy eredményét az "Annals of Mathematics"-ban, a kor legerősebb matematikai folyóiratában tegye közzé.

Neumann második legfontosabb matematikai gyermekének az operátorgyűrűk elméletét tekintette. (Harmadik volt az imént említett ergodikus tétel.) Az operátorgyűrűk az 1930-as évek második felében fő érdeklődési területét jelentették, és ez az irány az egyetlen operátor analízisének folytatásaként is felfogható. Ez egy olyan terület volt, ahol Neumann a semmiből teremtett olyasvalamit, ami a modern matematika középpontjába került és jelenleg is ott van. Mivel ez a terület jelen szerző lelkületéhez is közel áll, nem tudja elkerülni a kicsit részletesebb betekintést.

Az operátorgyűrűket Neumann a kommutáns fogalmán keresztül közelítette. Egy operátor halmaz kommutánsa azokból az operátorokból áll, amelyek a halmaz miden egyes operátorával kommutálnak, azaz

{ X : XA = AX az adott halmaz minden A elemére }.

A kommutálás, azaz a felcserélhetőség a kvantummechanikában is szerepet játszott (és játszik), de a kapcsolat bővebb taglalására itt most nincsen lehetőségünk. Neumann először tisztázta, hogy mik azok a kommutánsként előálló halmazok, amik páronként felcserélhető operátorokból állnak. A válasz nem volt bonyolult, vegyünk egy önadjungált operátort, és annak az összes függvényei fognak ilyen halmazt adni. A nem felcserélhető operátorokból álló kommutánsok, azaz operátorgyűrűk, vagy mai szóhasználattal Neumann-algebrák feltérképezése már egy nagyobb szabású programnak bizonyult, ami teljesen még azóta sem fejeződött be. Neumann János munkatársával, F. J. Murray-vel tette meg az első lépéseket.

A Neumann-algebrák építőkövei a Neumann-faktorok. Ha ezeket ismerjük, akkor belőlük az általánosabb algebrák felépíthetők egy Neumann által később kifejlesztett "direkt integrál" eljárás segítségével, ami a redukcióelmélet nevet viseli. Neumann ezért a faktorok megismerésére fókuszált. Felhasználta minden tudását a Hilbert-tér lineáris operátorairól, az invariáns mértékekről, az ergodicitási problémakörről és a topologikus csoportokról. Némi csodálattal talán mondhatjuk, hogy pontosan ő volt az az ember, akinek ebbe bele kellett kezdeni, és akinek voltak esélyei.

Neumann princetoni otthonában feleségével és kutyájával

        A Neumann-faktorok klasszifikációja a faktorhoz tartozó projekció operátorok vizsgálatával kezdődött. A Neumann-faktorok projekció operátorokban gazdagok, és belőlük a fent emlitett spektrál tétel segítségével minden önadjungált operátor összeintegrálható, tehát ez a kiindulás szinte természetes. A kvantumelmélet logikai megközelítésében éppen ezért a projekció operátorok az "események''. Háromdimenziós terünkben egy projekció operátor merőleges vetítést jelent, ami történhet egy egyenesre, egy síkra, vagy magára a teljes térre. Az egyenes, a sík és a teljes tér rendre egy, kettő, illetve három dimenziós objektumok, és a dimenzió a projekció operátor mátrixának a rangjával azonos. Ezeket az egyszerű gondolatokat terjesztette ki Neumann a faktorokra, amikor azok projekció operátorain értelmezett egy dimenzió függvényt. A háromdimenziós térben jól látjuk, hogy a dimenziónak van két lényeges tulajdonsága. Az egyik az, hogy a mozgatások a dimenziót nem változtatják, hiszen egyenest elmozgatva egyenest, síkot elmozgatva síkot kapunk. Ez a dimenzió invarianciája. A másik tulajdonsága a dimenziónak az additivitása: Két merőleges egydimenziós egyenes két dimenziós síkot feszít ki, és egy egyenes egy rá merőleges síkkal kifeszíti a teljes három dimenziós teret.

        Érdekes, hogy az invariancia és additivitás tulajdonsága a testek térfogatának is megvan. Egy test térfogata mozgatáskor nem változik, ez a térfogat mozgatásra való invarianciája, és egy testet két részre vágva a részek térfogata összeadódva adja ki az eredeti test térfogatát. (Az összeadódás jelenti az additivitást.) A térfogat absztakciója a matematikában a mérték. A mérték és a dimenzió analógiáját használta fel Neumann arra, hogy faktorok projekció operátorainak egy dimenziót tulajdonítson Haar Alfréd invariáns mértékekre vonatkozó gondolatait is felhasználva. Azt a nagyon meglepő eredményt kapta, hogy bizonyos Neumann-faktorokban a dimenzió folytonosan is változhat, nem csupán olyan ugrásszerűen, mint szokásos terünk alterei esetében.

        Természetesen a faktorok dimenzió elmélete jóval összetettebb, mint az itt leírtak. Mégis megsejthetünk valamit a neumanni gondolkodásmódból. A faktorok operátorai közül kiválasztottuk a projekciókat, két olyan lényeges fogalmat találtunk, mint az invariancia és az additivitás, majd pedig ezt analógiába hoztuk a térfogattal (vagyis a mértékkel), ami azután elegendő segítséget jelentett a dimenzió függvény megkonstruálásához. Neumann Jánosnak ez a gondolatmenete mintegy harminc évvel később még általánosabb formát öltött, amikor belőle az általánosabb operátor algebrák K-elmélete kifejlődött.

        A Neumann-faktorok kutatása jóval Neumann után is folytatódott. Maga Neumann a faktorokat az I., II. és III. osztályokba sorolta. A legösszetettebbnek a III. osztály bizonyult. Ide tartozó faktorra a magyar Pukánszky Lajos adott több példát, majd Alain Connes az összes III. típusú faktort megtalálta. Ezért kapott Fields-érmet 1983-ban. Neumann nagyszerű matematikus volt, de mindent ő sem látott előre. A III. típusú faktorokat szingulárisnak gondolta, mert nagyon szokatlan tulajdonságaik vannak. Jóval később mégis az derült ki, hogy az algebrai kvantum térelméletben éppen ezek a faktorok kapnak szerepet.

A centenárium alkalmából kibocsátott érme

Alkalmazott matematika

Neumann a II. Világháború éveitől kezdve egyre többet foglalkozott alkalmazott matematikával, a témák egy részét a háború kínálta. Ilyen volt a ballisztika és a lökéshullámok tanulmányozása. Utóbbi a nukleáris bomba tervezésében is szerepet kapott. A megfelelő parciális differenciálegyenletek analitikus formában nem voltak megoldhatók, és a diszkretizált egyenlet numerikus kezelése óriási mennyiségű számolást kívánt. Ez hagyományos kézi számolással, vagy az akkor már létező egyszerű mechanikus, vagy elektronikus gépek segítségével nem volt elvégezhető. Így fordult Neumann János figyelme a számolóberendezések felé. Több olyan ötlete volt, ami számolóberendezéseket olyan mértékben forradalmasította, hogy az ő nevéhez kötik a modern, tárolt programmal vezérelt elektronikus számítógép létrehozását. Felesége volt az első számítógépprogramozók egyike. A neumanni elvek még ma is felfedezhetők számítógépeink működésében.

Neumann vendégeknek mutatja meg számítógépét

A hatékony számítógép megjelenése teljesen új lehetőségeket teremtett a numerikus matematikában. A nagyméretű számolási feladatok elvégezhetősége kihívást jelentett a világ és Neumann számára, aki energiái nagy részét ide koncentrálta. Meggyőzte a politikusokat a számítógép fejlesztésének szükségességéről, és ő maga is számtalan olyan munkát végzett, amely már talán nem is az alkalmazott matematika, hanem a mérnöki szakértés körébe tartozik. Élete utolsó tizenöt évének tevékenységét már nem is lehet publikációi jegyzéke alapján megítélni. Egy tudós neves folyóiratokban jelenteti meg munkáit, de egy szakértő tevékenysége olyan levelekben és elemzésekben ölt testet, amelyek csak elég korlátozott hozzáférést engednek meg, különösen akkor, amikor katonai jelentőségük is van.

    Visszatérve Neumann matematikai tevékenységéhez, elmondhatjuk, hogy a tudományos számítások módszerei elnevezésű tudományterületet is gyakorlatilag ő hozta létre. A nagyméretű mátrixokkal való számolás és a parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása mellett a véletlen számok generálása is a kedvelt témái közé tartozott. Sziporkázó ötletei voltak arra, hogy hogyan lehet különféle adott valószínűség eloszlás szerint véletlen mennyiségeket a számítógépen létrehozni.

        Meglepő lehet, hogy a véletlen számok mennyire hasznosak tudnak lenni számítási vagy alkalmazási feladatokban. Ha például egy függvénygörbe alatti területre vagyunk kíváncsiak, akkor a területet tartalmazó négyzetet elegendő "teledobálni" véletlenszerűen választott pontokkal, és megnézni, hogy hányad részük esik a grafikon alá. Ebből és az alapnégyzet területéből nagyon jó becslést kaphatunk a görbe alatti területre, ami a függvény integrálja. Az ilyen Monte-Carlo-módszerek sok analitikusan nem kezelhető feladat megoldását is lehetővé teszik. Neumann 1953-ban egy olajtársaság három várost érintő 18 tartálykocsival szervezett szállítási feladatának optimalizálására javasolt statisztikai kisérleten alapuló eljárást, és meggyőződését fejezte ki, hogy a módszer az ipari szervezés-értékelésben széles körben eredményesen alkalmazható.

        Neumann János 1957-ben csodálattal övezett alkotó ereje teljében halt meg. Ha halála később következik be, akkor tudományos tevékenysége talán további területeket érintett volna meg, és a magyar tudományos élettel való közvetlen kapcsolata is helyreállt volna.