Matematika B2 3. gyakorlat (2005. 03. 04.) Függvénysorok, Fourier-sor

• Trigonometrikus polinom: a_{0} + ∑_{n=1}^{∞} a_{n} cos nx + b_{n} sin nx

• A cos kx és sin lx fv-ek fontos tulajdonsága, hogy ha f és g ezek közül két tetszőleges, különböző fv, akkor ∫_{−π}^{π} f(x)g(x) dx = 0, és \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} sin^{2} kx dx = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} cos^{2} lx dx = 1

• Ha f 2π szerint periodikus, f és f^{2} is Riemann-int-ható 1 perióduson, akkor az ő Fourier-során azt a trig. polinomot értjük, ahol

a_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x) dx, a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) cos kx dx, b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) sin kx dx

• Ha f-nek csak végessok szakadási pontja van [−π, π]-n, akkor a folytonossági pontokban a Fourier-sor konvergál f-hez, a szakadási pontokban pedig (ha mindkét oldali derivált véges) \frac{f(x_{0}+0)+f(x_{0}−0)}{2}-höz konvergál. Ha f mindenhol folytonosan diffható, akkor a konvergencia egyenletes.

• Ha f páros, akkor b_{k} = 0, ha pedig páratlan, akkor a_{k} = 0.

• Fourier-sor komplex alakja: ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}e^{inx}, ahol c_{n} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{−inx} dx, másképp pedig ha n ≥ 0, akkor c_{n} = \frac{a_{n}−ib_{n}}{2} , c_{−n} = \frac{a_{n}+ib_{n}}{2}

• Ha f 2p szerint periodikus, akkor x-et y = πx/p-re cserélve már 2π-periodikus fv-t kapunk:

a_{0} = \frac{1}{2p} ∫_{−p}^{p} f(x) dx, a_{k} = \frac{1}{p} ∫_{p}^{p} f(x) cos(k \frac{πx}{p}) dx, b_{k} = \frac{1}{p} ∫_{−p}^{p} f(x) sin(k \frac{πx}{p}) dx

Feladatok:

1. Ábrázoljuk és határozzuk meg a Fourier-sorát a következő 2π-periodikus fv-nek!

f(x) = \{ \begin{matrix}x & ha 0 ≤ x < π \\ −x & ha π ≤ x < 2π \end{matrix}

2. Határozzuk meg az első feladat eredménye alapján a következő összeget: ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n−1)^{2}}

3. Állítsuk elő tiszta szinuszos Fourier-sorral:

f(x) = cos x, ha 0 ≤ x < π

4. Írjuk fel az f(x) = sin(4x) + cos^{2}(x) sin(2x) Fourier sorát!

5. Határozzuk meg a nem 2π periódikus fv Fourier-sorát: f(x) = {x}, azaz törtrész fv

6. Határozzuk meg a komplex Fourier-sorokat! (Ilyen nem lesz a ZH-ban!!!!!) (a) f(x) = x^{2}, ha − π ≤ x < π

(b) f(x) = \frac{2π−x}{2}, ha 0 < x ≤ 2π

7. Házi feladatok, gyakorló példák:

(a) Mi a Fourier-sora? f(x) = x^{2}, ha 0 ≤ x < 2π

(b) Mi a Fourier-sora? f(x) = | sin x|

(c) Állítsuk elö tiszta szinuszos Fourier sorral: f(x) = x(π − x), ha 0 ≤ x < π

(d) Mi a Fourier-sora? f(x) = e^{x}, ha 0 < x ≤ 2π és f(x + 2kπ) = f(x)?

(e) Állítsuk elő a sin x fv-t a (0, π] intervallumon, tiszta koszinuszos Fourier-sor segítségével!

(f) Mi a Fourier-sora?f(x) = \{ \begin{matrix}−2 & ha −2 ≤ x < −1 \\ x & ha −1 ≤ x < 1 \\ 2 & ha 1 ≤ x < 2 \end{matrix}