Matematika B2 7. gyakorlat (2005. 04. 01.) Mátrixok folyt

• Mx inverze: A^{−1} = ^{\begin{matrix}A & ^{∗} \\ det & A \end{matrix}}, ahol A^{∗} az A mátrix i, j-edik eleme helyén a j, i elemhez tartozó előjeles aldeterminánst tartalmazza.

• Tranzformáció mátrixa: Az i. oszlopa helyén az a vektor áll, amibe a tranzformáció viszi az i. bázisvektort, azaz pl ha 90 fokkal akarunk forgatni az y tengely körül, akkor az első vektora a trafó mx-ának az a vektor, ahova a (1, 0, 0) vektor kerül, tehát (0,0,-1) lesz az első oszlop.

Feladatok:

1. A p és q paramáterek mely értéke mellett nincs mo-a az alábbi egyenletrsz-nek? Lehet-e úgy választani őket, hogy 1 megoldás legyen? Vagy végtelen sok megoldás? Mi a megoldás, ha p = 18 és q = 19?

( \begin{matrix}1 & 4 & 7 & −2 \\ 3 & 14 & 23 & −8 \\ −2 & 0 & −6 & −4 \\ 4 & 1 & 13 & p \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}12 \\ 40 \\ −8 \\ q \end{matrix} )

2. Odjuk meg a mátrixegyenletet:

X ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 5 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & −2 \\ 3 & 0 \\ 2 & −5 \end{matrix} )

3. Oldjuk meg a mátrixegyenletet:

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} ) X + ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) = −2 ( \begin{matrix}3 & −1 & 6 & 5 \\ 4 & −2 & 4 & 3 \end{matrix} )

4. Írjuk fel az x = −y egyenesre való tükrözés mx-át a síkban! Mi az (5, 3) képe?

5. Írjuk fel az x = y síkra való tükrözés mx-át a térben!

6. Írjuk fel az x + z = 0 síkra való vetítés és tükrözés mx-át!

7. Írjuk fel az \{ \begin{matrix}x + z & = & 0 \\ y & = & 0 \end{matrix} egyenesre való vetítés mx-át!

8. Írjuk fel annak a tranzformációnak a mátrixát, meyl egy térbeli pontot az y tengely körül először 60 fokkal elforgat, majd az x, y koordinátasíkra vetíti.

9. Írjuk fel az α szöggel való origó körüli forgatás mx-át a síkban!

10. Mi a mátrixa az x tengely körül 30 fokkal forgató, majd az x = −y síkra tükröző tranzformációnak?

11. Házi feladatok

(a) Oldjuk meg: ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 6 & 7 \end{matrix} ) X = ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \end{matrix} )

(b) Mi a mátrixa: Először vetít az y = 0 síkra, majd forgat x tengely körül 45 fokkal