Matematika B2 9. gyakorlat (2005. 04. 15.) Mátrixok: sajátértékek, sajátvektorok

• Az A mátrix sajátértéke λ a \underline{v} sajátvektorral, ha teljesül rájuk, hogy Av = λv.

Számolásuk: Mivel λv = λIv (ahol I az identitás- vagy egységmátrix), így teljesül, hogy (A − λI)v = \underline{0}, azaz az A − λI tranzformációhoz található olyan v vektor, amit a nullvektorba visz, amiből az következik, hogy det(A − λI) = 0. Ha ezt, mint egyenletet megoldjuk λ-ra, megkapjuk a sajátértéket. Utána visszahelyettesítjük a kapott λ-t és megoldjuk az eredeti egyenletet \underline{v}-re.

• Diagonalizálás: Ha T egy trafó mx-a, akkor a természetes bázisban egy \underline{v}_{1} vektor képe \underline{v}_{2} = T \underline{v}_{1}. Ha T sajátvektorai \underline{u}_{1} és \underline{u}_{2}, akkor a belőlük kirakott U = [\underline{u}_{1}, \underline{u}_{2}] mátrix segítségével D = U^{−1}T U már

diagonális, mégpedig D = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ).

Feladatok:

1. Adott a ( \begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) mátrix. Milyen tranzformáció mátrixa ez? Mik a sajátértékei és -vektorai? Hogyan olvasható ki a tranzformáció a sajátvektorokból és -értékekből?

2. Keressük meg az ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & 0 \\ −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) mátrix által adott térbeli tranzformációt, és sajátértékeit és -vektorait!

3. Adott a ( \begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix} ) mátrix. Mik a sajátértékei és -vektorai? Milyen tranzformáció mátrixa ez?

4. Mik a \underline{v}_{T} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) vektor koordinátái az \underline{u}_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ), \underline{u}_{1} = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) bázisban?

5. Diagonalizáljuk, határozzuk meg, hogy mit csinál, majd számoljuk ki a 10. hatványát a ( \begin{matrix}5 & −2 \\ 8 & −5 \end{matrix} ) mátrixnak!

6. Házi feladat: Adott a ( \begin{matrix}6 & −2 \\ 10 & −6 \end{matrix} ) mátrix.

(a) Számoljuk ki a sajátértékeit, vektorait! Határozzuk meg, hogy mit csinál!

(b) Diagonalizáljuk, majd számoljuk ki a 10. hatványát!