\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{enumerate}

\begin{document}

\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}\,}
\newcommand{\modulo}{\,\mathrm{mod}}

\pagestyle{empty}
\centerline{\bf Pólya-Szegő szakkör 2004. őszi félév}
\centerline{\bf 2. feladatsor}
\centerline{\bf 2004. október 4.}

\medskip

\begin{enumerate}[1.]
\item Bizonyítsuk be, hogy
$$(n!)^{n+1}|(n^2)!$$
%
\item Legyen $ k $ egyenletes eloszlású az $ 1, 2, \dots, n $ egészeken.
Hova tart annak a valószínűsége, hogy $ n \bmod k \ge k/2 $,
ha $ n $ a végtelenbe tart.
(Itt $ 0 \le n \bmod k < k $ a maradék, ha $ n $-t osztjuk $ k $-val.)
%
\item Legyenek $a, d$ egészek, $d\not =0$. Az
$$a, a+d, a+2d, \dots, a+nd, \dots$$
sorozatból kiválasztható végtelen sok tag úgy, hogy azok prímosztói
megegyeznek.
%
\item Legyen az
$$ f(z) = \sum_{-\infty<n<\infty} a_k z^k $$
függvény reguláris az $ r < |z| < R $ körgyűrűn.
Bizonyítsuk be, hogy a körgyűrű képének területe
(a többször fedett részeket többszörösen számítva)
$$ \pi \sum_{-\infty<n<\infty} n |a_n|^2 (R^{2n} - r^{2n}) $$
%
\item Egy gráfban két élt \emph{teljesen független élnek} nevezünk, ha
végpontjaik négyelemű halmazt alkotnak, és az ez által feszített
részgráfban csak a két kiinduló él van. Legyen $G$ egy legalább két élű
gráf, amelyben nincs két teljesen független él. Bizonyítsuk be, hogy
$\omega(G)\leq \chi(G)\leq \omega(G)^2$.
%
\item Descartes-féle előjelszabály.
(Ennek a feladatnak érdemes több különböző megoldását ismerni.)

Azt mondjuk, hogy az $ a_0, a_1, \dots, a_n $ valós számsorozatnak jelváltása
van a $ k $ indexű tagnál, ha $ 0 \ne a_k $ ellenkező előjelű, mint
az $ a_{k+1}, a_{k+2}, \dots $ tagok közül az első nullától különböző.
Tekintsük az $ f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n $
(nem azonosan nulla) valós együtthatós polinomot.

Lássuk be, hogy $ f $ együtthatóinak sorozatában legalább annyi jelváltás van,
ahány pozitív gyöke van $ f $-nek.

Ha $ f $-nek minden gyöke valós, akkor pontosan ugyanannyi jelváltás van, mint
pozitív gyök.

\end{enumerate}

\end{document}
