% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}

%\def\determinant#1{\left|\vcenter{\kern1.5pt\hbox{$\matrix{#1}$}\kern1.5pt}\right|}

%\def\Reals{\mathbb{R}}
\def\Rationals{\mathbb{Q}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 2.

4. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2004. október 18., javított változat

\par}\vskip1.5\bigskipamount



\feladat
Bizonyítsuk be, hogy
$$
\pmatrix{
1 &\hfill 0 & 0 &\hfill 0 & 0 & \cdots \cr
1 & -1 & 0 &\hfill 0 & 0 & \cdots \cr
1 & -2 & 1 &\hfill 0 & 0 & \cdots \cr
1 & -3 & 3 & -1 & 0 & \cdots \cr
1 & -4 & 6 & -4 & 1 & \cdots \cr
\vdots &&&&& \ddots \cr
}^2 = 
\pmatrix{
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \cr
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \cr
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \cr
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots \cr
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots \cr
\vdots &&&&& \ddots
}
$$
(A mátrixok négyzetesek.)


\def\Stir#1#2{\left\{{#1\atop#2}\right\}}
\def\stir#1#2{\left[{#1\atop#2}\right]}

\feladat
A másodfajú, illetve elsőfajú Stirling-számokról ismertek a következő rekurziók:
$$
\displaylines{
%\eqalign ?
\Stir nk = k \Stir {n-1}k + \Stir {n-1}{k-1} \cr
\stir nk = (n - 1) \stir {n-1}k + \stir {n-1}{k-1} \cr
}
$$

Lássuk be ebből az alábbi azonosságokat:
$$
\displaylines{
x^n = \sum_{0\le k\le n} \Stir nk x(x-1)\dots(x-k+1) \cr
x(x+1)\dots(x+n-1) = \sum_{0\le k\le n} \stir nk x^k \cr
}
$$


\feladat
Konvergens-e az alábbi sor?
$$
\sum_{n=2}^{\infty} {1 \over (\log_2 n)^{\log_2 n}}
$$ 


\feladat
Jelölje $ V_\Rationals $ a $ P(x) = x^5 - 2x $ polinomnak a $ \Rationals $-n
felvett értékeinek halmazát. 
Bizonyítsuk be, hogy $ P : \Rationals \to V_\Rationals $ bijekció.


\feladat
Legyen $ A $ olyan $ n\times n $-es mátrix, melynek a főátlójában minden elem 0,
míg azon kívül minden helyen $ +1 $ vagy $ -1 $ áll. 
Bizonyítsuk be, hogy $ A $ nem szinguláris, feltéve, hogy $ n $ páros.


\feladat
Legyen $ a_1, a_2, \dots $ és $ b_1, b_2, \dots $ olyan végtelen sorozat,
melyben minden elem a $ 2 $ és $ 3 $ számok egyike, és legyen
$$
{ 1 \over a_1 } + { 1 \over a_1 a_2 } + { 1 \over a_1 a_2 a_3 } + \cdots =
{ 1 \over b_1 } + { 1 \over b_1 b_2 } + { 1 \over b_1 b_2 b_3 } + \cdots
$$
Bizonyítandó, hogy ekkor a két sorozat megegyezik.


% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
