% Zsban Ambrus
% polya-szego 5
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,10pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}


\def\Reals{\mathbb{R}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 2.

7. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2004. november 22.

\par}\vskip1\bigskipamount


% binomiális faktoriális hatványra ---------------------------------
% ambrus
% ezt már említettem, most fel is adom 

\feladat
Lássuk be az alábbi azonosságot! 
%
\iffalse
$$\displaylines{
(x + y)(x + y + h)(x + y + 2h)\cdots(x + y + (n - 1)h) = \hfill\cr
 \hfill = { n\choose 0 } x(x + h)\cdots(x + y + (n - 1)h) + \cr
 \hfill + { n\choose 1 } x(x + h)\cdots(x + h + (n - 2)h)\cdot y + \cdots \cr
 \hfill + { n\choose k } x(x + h)\cdots(x + (n - k - 1)h)\cdot y(y + h)\cdots(y + (k - 1)h) + \cdots \cr
 \hfill + { n\choose n } y(x + h)\cdots(y + (n - 1)h)
}$$
\fi
$$\displaylines{
\quad F_n(x + y|h) = F_n(x|h) + { n\choose 1 } F_{n-1}(x|h)F_1(y|h) + \cdots \hfill\cr
 \hfill + { n\choose k } F_{n-k}(x|h)F_k(y|h) + \cdots + F_n(y|h) \quad
}$$
Ahol
$$
F_k(x) := x(x - h)(x - 2h)\cdots(x - (k - 1)h)
$$
(Ha $ h = 0 $, akkor a binomiális tételt kapjuk.)


% Gauss-binom ----------------------------------------------------------
% ambrus
% És még egy binomiális tétel -- nem unalmas?

{
\feladat
A Gauss-féle binomiális együtthatókat definiáljuk a következőképpen:
% jelölés a Gauss-féle binomiális együtthatókra:
\def\G#1#2#3{G_{#1,#2}(#3)}
$$
\G nkq := { 1 - q^n \over 1 - q }\cdot{ 1 - q^{n-1} \over 1 - q^2 }\cdots
  { 1 - q^{n-k-1} \over 1 - q^k }
$$
Ha $ k = 0 $, akkor $ \G nkq = 1 $; 
ha $ k < 0 $ vagy $ k > n $, akkor $ \G nkq = 0 $.

Bizonyítsuk be a következő azonosságot:
$$
\prod_{1\le k\le n} (1 + q^{k-1}x) =
  \sum_{0\le k\le n} \G nkq q^{k(k-1)/2} x^k
$$

Ha $ q \to 1 $, akkor határértékben a binomiális tételt kapjuk.

Útmutatás: először beláthatjuk, hogy
$$
\G {n+1}kq = \G nkq + q^{n-k+1} \G n{k-1}q
$$

}


% felezős másodrendű rekurzió ------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Tekintsük azt a sorozatot, melyre $a_0=1$, továbbá $a_{2n+1}=a_n$ és 
$a_{2n+2}=a_n+a_{n+1}$ teljesül minden $n\geq 0$ egész számra. Bizonyítsuk 
be, hogy az
$$ \bigg\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\,:\, n\geq 0\bigg\}$$
halmazban valamennyi pozitív racionális szám előfordul.


% színezés --------------------------------------------------
% illés

\feladat
Egy szabályos háromszög oldalait $n$ egyenlő részre osztjuk. Az 
osztópontokon keresztül párhuzamosokat húzunk az oldalakkal. A háromszög 
kerületén lévő osztópontokat és a háromszög belsejében kialakult 
metszéspontokat kiszínezzük két színnel.
Bizonyítsuk be, hogy van olyan $n_0$ egész szám, hogy ha $n\geq n_0$, 
akkor tetszőleges színezés esetén van három egyszínű pont, melyek az 
eredeti háromszög oldalaival párhuzamos oldalú szabályos háromszöget 
alkotnak.

Határozzuk meg $n_0$ minimális értékét.


% gyökös egyenlőtlenség --------------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pozitív egész $n$ esetén igaz a következő 
egyenlőtlenség.
$$ \sqrt{2} \sqrt[4]{4} \sqrt[8]{8} \dots \sqrt[2^n]{2^n}\leq n+1 $$



% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
