% Zsban Ambrus
% polya-szego 5
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}


\def\Reals{\mathbb{R}}

% ezt csak ténylegesen relációra használjuk!
\def\hudiscrel#1{\;\discretionary{\hbox{$#1$}}{}{}{#1}\;}
% ezt pedig binopra, likewise
\def\hudiscbin#1{\>\discretionary{\hbox{$#1$}}{}{}{#1}\>}



% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 2.

8. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2004. november 29.

\par}\vskip1\bigskipamount


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Legyen $a_1, a_2, \dots$ olyan végtelen sorozat, melyben minden elem a 
$2$ 
és $3$ számok egyike. Bizonyítsuk be, hogy az

$${1\over a_1}+{1\over a_1 a_2 }+{1 \over a_1 a_2 a_3}+\cdots$$

végtelen sorral előállított szám akkor és csak akkor racionális, ha az 
$a_i$-k sorozata valahonnan kezdve periodikus.


% Gauss-féle binom még egyszer ---------------------------------
% és remélhetőleg utoljára
% ambrus

{\feladat
Lássuk be, hogy a 
%
\def\G#1#2#3{G_{#1,#2}(#3)}
$$
\G nkq = { (1 - q^n)(1 - q^{n-1})\dots(1 - q^{n-k+1}) \over (1 - q)(1 - q^2)\dots(1 - q^k) }
$$
Gauss-féle binomiális együttható (rögzített $ 0 \le k \le n $ egészekre)
polinom $ q $-ban.

}


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Mutassuk meg, hogy az 
%$n!e-[n!e]$ 
$n!e-\lfloor n!e\rfloor $ 
sorozatnak egyetlen torlódási pontja a 
nulla.


% csillag alakú szintvonalak --------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Tegyük fel, hogy $ f $ reguláris $ z_0 $-ban, $ f(z) \ne 0 $, de $ f'(z) \hudiscrel= 0 $.
Tekintsük az $ |f(z)| $ függvényt a $ z_0 $ pont környezetében. 
Lássuk be, hogy az $ |f(z)| \hudiscrel= |f(z_0)| $ szintvonalaknak 
a $ z_0 $ pontban $ 2n $ ága találkozik, 
amelyek egymással egyforma, $ \pi/n $ szöget zárnak be.  
Az $ |f(z)| - |f(z_0)| $ függvény az ágak között felváltva pozitív és negatív.


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Számítsuk ki a

$$
\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+1)(n^2+2)\dots (n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)\dots (n^2-n)}
$$
határértéket.




% egész interpoláció -------------------------------------------------
% nehéz
% ambrus

\feladat
Legyen adott a $ z_1, z_2, \dots, z_n, \dots $ {\itshape végtelenhez tartó} komplex sorozat,
valamint minden $ n $-hez a $ w_{n,0}, w_{n,1}, \dots, w_{n,m_n-1} $ számok.
Lássuk be, hogy van olyan $ f $ egész függvény, amire
$ f^{(k)}(z_n) = w_{n,k} $.
(Tehát minden $ z_n $ pontban 
adott a függvény értéke és az esetleg első néhány deriváltja is.)



% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Legyen $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ függvény, és $L$ egy zárt, önmagát nem 
metsző szintvonala $f$-nek (olyan görbe, amely mentén $|f(z)|$ állandó) 
olyan nyílt tartomány belsejében, ahol $f(z)$ reguláris. Bizonyítsuk be, 
hogy az $L$ által határolt zárt tartomány belsejében $f$-nek van gyöke, 
kivéve, ha $f$ kons\-tans.

% Hát, a mai is elég ronda lett.


% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
