\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\textwidth 16cm
\oddsidemargin -0.5cm
\topmargin -2.5cm
\textheight 26cm
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}

\def\Reals{\mathbb{R}}
\begin{document}

\centerline{\bf Pólya--Szegő szeminárium 2.}
\centerline{\bf 3. feladatsor 5. feladathoz vázlat}

\bigskip
Bizonyítsuk be, hogy pontosan egy olyan $f:\Reals\to\Reals$ függvény létezik, amelyre
$$[f(x)]^3+3f(x)=x$$
teljesül minden $x\in\Reals$ esetén.  
Bizonyítsuk be továbbá, hogy $f$ differenciálható, és adjuk meg $f'(0)$-t.

\bigskip

A következő megoldást sokan próbálták leírni, a két típushiba a 2. pont elnagyolása illetve az 5. pontbeli meggondolás elhagyása volt.

\begin{itemize}

\item $$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{1}{f^2(x)+f(x)f(y)+f^2(y)+3}\leq \frac{1}{3}$$

\item $f$ Lipschitz-es $\Rightarrow$ folytonos $\Rightarrow$ rögzített $x$ és $y\to x$ esetén $f(y)\to f(x)$ $\Rightarrow$ $$\lim_{y\to x}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\lim_{y\to x}\frac{1}{f^2(x)+f(x)f(y)+f^2(y)+3}=
\frac{1}{3f^2(x)+3}=f'(x)$$

\item az előbbi diffegyenletnek egyértelmű megoldása van $0$ valamely nyílt környezetében, legyen ez $f_1$; $f_1$ differenciálható

\item $f^3(x)+f(x)=x$-ből rögzített $x$-re $f(x)$ kifejezhető a Cardano-képlettel, minden $x$-re 1 valós gyök van $\Rightarrow$ $f$ pontonként adott $\Reals$-en, legyen ez $f_2$, a Cardano-képlet folytonos $\Rightarrow$ $f_2$ is az

\item $f_1$ és $f_2$ ugyanaz az egyértelműség miatt ott, ahol mindkettő értelmezve van! (A $0$ valamely nyílt környezetében.) De: mindkettő folytonos, egyértelmű $\Rightarrow$ a nyílt környezet végpontjaiban is megegyeznek, így viszont $f_1$ nem tart a végtelenhez a végpontokban, a megoldás folytathatósága miatt $f_1$ kiterjed egy nagyobb intervallumra is, ez csak úgy lehet, ha ez az intervallum eleve $\Reals$

\item $f_1\equiv f_2\equiv f$ jelölés most már jogos, $f(0)=0$, $f'(0)=\frac{1}{3f^2(0)+3}=\frac{1}{3}$.

\end{itemize}

Ez persze csak egy lehetőség, aki szeretne (és elsőre nem volt jó), az adhat be más megoldást is.

\end{document}
