\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{enumerate}

\begin{document}

\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}

\pagestyle{empty}
\centerline{\bf BME MATEMATIKA VERSENY}
\centerline{\bf 2005.04.28.}

\bigskip

\medskip

\begin{enumerate}[1.]
\item Mutassuk meg, hogy az $a_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\dots +\sqrt{n}}}$ sorozat konvergens és adjunk minél jobb felső becslést a határértékre.
%
\item Jelölje $S$ egy háromszög súlyvonalai hosszának összegét, $K$ pedig a kerületét. Adjunk minden háromszögre érvényes pontos alsó és felső becslést az $S/K$ hányadosra.
%
\item $$\int_0^\pi e^{\cos x}\cos(\sin x\!) \ud x=?$$
%
\item Az $a_n$ valós számsorozatra $a_n=\sum_{k=n+1}^\infty a_k^2\,\, \forall n$. Mit mondhatunk a $\sum a_n$ sor konvergenciájáról?
%
\item Adott három nemnegatív egész szám. Ketten játszanak; a soron következő játékos kiválasztja a három szám egyikét és azt legalább 1-gyel tetszés szerint csökkenti (egy nemnegatív egész értékig). Ezután az ellenfél tesz ugyanígy stb. Az nyer, akinél kijön a (0,0,0) számhármas. Milyen kiinduló számhármasoknál van a kezdő játékosnak nyerő stratégiája és hogyan kell nyerni? (Nézzük meg a vesztő számhármasok felírását a kettes számrend\-szerben.)
%
\item Legyen $G=(A,B)$ páros gráf, $|A| \leq |B|$. Tegyük fel, hogy bármely $X\subset A$ halmaz összes $B$-beli szomszédainak $N(X)$ halmazára $|X|<|N(X)|$. Akkor létezik olyan $A$-t lefedő párosítás $G$-ben, ami egy előre adott élet tartalmaz.
%
\item Keressük meg a $3^n$ hatványok balról második jegyének eloszlását. Melyik jegy a leggyakoribb?
%
\item Legyenek $A,B$ önadjungált $m\times m$-es mátrixok, csupa $1$ és $0$ sajátértékekkel. Bizonyítsuk be, hogy az $(AB)^n$ mátrixsorozat konvergens.
%
\item Legyen $f(z)$ az egész komplex síkon reguláris függvény. Mutassuk meg, hogy ha $f$ nem konstans, akkor $\mathrm{Re} f(z)$ és $\mathrm{Im} f(z)$ is minden valós értéket felvesz.
%
\item Vegyünk fel $2n$ darab egymástól független, egyenletes eloszlású pontot az egységkör kerületén, jelöljük ezeket $A_1, A_2, \dots, A_{2n}$-nel. Húzzuk be az $A_1A_2, A_3A_4, \dots, A_{2n-1}A_{2n}$ húrokat és jelöljük a keletkezett metszéspontok számát $X$-szel. Számoljuk ki $X$ várható értékét.
%
\end{enumerate}

\end{document}
