% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 3.

1. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. február 14.

\par}\vskip1\bigskipamount


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy $\sigma(n)$ (az $n$ természetes szám pozitív osztóinak összege) pontosan akkor páratlan, ha $n$ négyzetszám vagy
egy négyzetszám kétszerese.


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Jelölje $C$ a szokásos Cantor-halmazt ($C\subset [0, 1]$). Bizonyítsuk be, hogy
minden $x\in [0,2]$ előáll $y+z$ alakban, ahol $y,z\in C$.


% ---------------------------------------------------------------
%

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy ha $A^2=I$, ahol $A$ $n\times n$-es mátrix,
akkor az $I+A$ és $I-A$ mátrixok rangjának összege $n$.


% ---------------------------------------------------------------
%

\feladat
Mutassuk meg, hogy ha a $K_n$ teljes gráf éleit $m>1$ számú teljes részgráfra bontjuk fel, akkor $m\geq n$.


%Euler-tétel
% ---------------------------------------------------------------
%illés 

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy ha az

$$ (1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots(1-x^n)\cdots $$

végtelen sorozatot sorba fejtjük, akkor csak a $(-1)^k
x^{\frac{3k^2 \pm k}{2}}$ (ahol $k=0, 1, 2, \dots$) tagok lesznek
$0$-tól különbözőek. (Euler tétele.)


% ---------------------------------------------------------------
%

\feladat
$\varphi(x)$ tetszőleges, $x\geq 0$-ra értelmezett, monoton növő függvény. Adjunk meg hozzá olyan $g(z)$ egész függvényt, ami valós $z$-re valós értéket vesz fel, és $x\geq 0$-ra $g(x)>\varphi(x)$. (Azaz léteznek egy félegyenes mentén tetszőlegesen gyorsan növő egész függvények.)


% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
