% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 3.

2. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. február 21.

\par}\vskip1\bigskipamount


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy $\varphi(n)d(n)\geq n$ minden $n$ pozitív
egész számra (itt $\varphi(n)$ az $n$-nél nem nagyobb, $n$-hez
relatív prím pozitív számok száma, $d(n)$ pedig $n$ pozitív
osztóinak száma).


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Mutassuk meg, hogy ha $n>4$, akkor nincs olyan nem konstans
egészegyütthatós polinom, amelynek $n$ különböző egész helyen 1
vagy -1 az értéke. Mutassunk ilyen polinomot $n=4$ esetén.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Mutassuk meg, hogy ha zárt intervallumon folytonos függvények sorozata
monoton módon tart egy folytonos függvényhez, akkor a konvergencia egyenletes.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Mutassuk meg, hogy ha zárt intervallumon monoton függvények sorozata 
folytonos függvényhez tart, akkor a konvergencia egyenletes.


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Egy $n\times n$-es $0-1$ mátrixban nincs két-két olyan sor és
oszlop, amelyek keresztezési mezőiben mind a négy helyen egyes
áll. Bizonyítsuk be, hogy a mátrixban legfeljebb
$\frac{n}{2}+n\sqrt{n}$ egyes lehet.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Legyen $f$ egy $1$ főegyütthatós $n$-edfokú komplex polinom.
Lássuk be, hogy legfeljebb $n$ különböző pozitív egész $x$ hely lehet,
ahol $|f(x)| < n!/2^n$.








% vége ----------------------------------------------------------

\end{document}
