% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 3.

3. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. március  7.

\par}\vskip1\bigskipamount


%
% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Lássuk be, hogy $\varphi(n)+d(n)\leq n+1$ minden $n$ pozitív
egészre. Milyen $n$-ekre áll egyenlőség?


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy bármely $p(x)$ polinomnak van olyan
$p(x)q(x)$ (nullától különböző) többszöröse, amelyben csak $x$
prím kitevőjű hatványai szerepelnek.

 
% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Számítsuk ki az

$$\int_0^1 \frac{\ln{(1+x)}}{1+x^2}\ud x$$
integrált.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Tegyük fel, hogy a $|z_1| + \dots + |z_n| + \dots$ sor divergens.
Lássuk be, hogy van olyan $\alpha$ irányszög, hogy bármely
$0<\varepsilon$-ra a $z_1, \dots, z_n, \dots$ sor tagjai közül
azoknak, amelyek irányszöge $\alpha-\varepsilon$ és
$\alpha+\varepsilon$ közé esik, divergens az összege.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Legyenek az $A$ és $B$ $n \times n$-es valós mátrixok, $AB = I$.
Mutassuk meg, hogy ha az $A$ mátrix elemei nemnegatív számok,
akkor $B$ elemei között legalább $n$ pozitív és legalább $n$
negatív szám van.


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Tegyük fel, hogy az $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ polinom minden
gyöke valós. Lássuk be, hogy ekkor a gyökök benne vannak a
$$-\frac{a_{n-1}}{n}\pm\frac{n-1}{n}
\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}a_{n-2}}$$
végpontú intervallumban.


% vége ----------------------------------------------------------

\end{document}
