% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 3.

5. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. április  4.

\par}\vskip1\bigskipamount


%
% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy az 
$$f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}$$
polinomnak nincsenek többszörös gyökei.


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $\varepsilon$ pozitív számhoz található olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $n>n_0$ esetén

$$\varphi(n)>n^{1-\varepsilon}.$$


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Tegyük fel, hogy az $a_k$ monoton növő pozitív sorozat végtelenbe tart.
Legyen

$$\lambda = \limsup_{m\to\infty} {\log m \over \log a_m}$$

Lássuk be, hogy az 

$$ a_1^{-\sigma} + a_2^{-\sigma} + \dots + a_k^{-\sigma} + \dots $$

sor minden $\sigma > \lambda$ esetén konvergens, de minden $\sigma < \lambda$
esetén divergens.
    

% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Lehet-e $\mathbb{R}$ egy pozitív mérték\H u $A$ részhalmazának
torlódási pontjainak halmaza nullmérték\H u?
 
 % ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Hozzuk zárt alakra az alábbi összeget ($n\geq 0$ egész).

$$\sum_{k\geq 0}\binom{n+k}{2k} \binom{2k}{k} \frac{(-1)^k}{k+1}$$

% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Mi az olyan fák száma a $\{v_1,\dots,v_n,w_1,\dots,w_m\}$ csúcsokon, melyekben minden él egy $v_i$-t köt össze egy $w_j$-vel?
 

% vége ----------------------------------------------------------

\end{document}
