% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 3.

6. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. április  11.

\par}\vskip1\bigskipamount


%
% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Hagyjuk el az

$$ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots $$

harmonikus \"osszegből azon tagokat, amelyekben a nevezőben van 6-os
sz\'amjegy.
Bizony{\'\i}tsuk be, hogy az {\'\i}gy kapott sor konvergens.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Igazoljuk a k\"ovetkező azonoss\'agot:

$$ {n\choose1} - \frac{1}{2} {n\choose2} + \frac{1}{3} {n\choose3} + \dots + 
  (-1)^{(n-1)} \frac{1}{n} {n\choose n} =
  1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}.$$
	    

% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Legyen $f$ folytonosan differenci\'alhat\'o val\'os f\"uggv\'eny az $(a, b)$
intervallumon \'es $a < \xi < b$.
Igaz-e, hogy mindig vannak olyan $x_1$, $x_2$ pontok, hogy

$$  {\frac{ f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}} = f'(\xi)\quad $$

\'es $a < x_1 < \xi < x_2 < b? $

  

% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat

Legyen az $a_k$ olyan monoton csökkenő pozitív sorozat, 
hogy az 

 $$a_1 + a_2 + \dots + a_k + \dots$$ 
sor divergens, de alkalmas $\epsilon_k$ előjelsorozattal

$$\epsilon_1 a_1 + \epsilon_2 a_2 + \dots + \epsilon_k a_k + \dots$$
már konvergens (itt $\epsilon_k = \pm 1$ minden $k$-ra).

Lássuk be, hogy ekkor

$$\liminf_{n\to\infty} {\epsilon_1 + \epsilon_2 + \dots + \epsilon_n \over n}
\le 0 \le
\limsup_{n\to\infty} {\epsilon_1 + \epsilon_2 + \dots + \epsilon_n \over n},$$ 
vagyis az előjelek aránya torlódik 1/2-hez.
	  

% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Van-e olyan szigor\'uan monoton n\"ovő val\'os f\"uggv\'eny, ami majdnem minden pontban
deriv\'alhat\'o \'es a deriv\'altja majdnem minden pontban 0?



% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Előáll-e az irracionális számok halmaza megszámlálhat\'o sok zárt
halmaz uni\'ojak\'ent?



% vége ----------------------------------------------------------

\end{document}

