% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 3.

7. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. április  18.

\par}\vskip1\bigskipamount


%
% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Az $1,2,\dots,n$ sz\'amok k\"oz\"ul melyek azok, amelyek relat{\'\i}v pr{\'\i}mek az \"osszes t\"obbihez?


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizony{\'\i}tsuk be, hogy minden pozit{\'\i}v eg\'esz el{\H{o}}\'all olyan \"osszegk\'ent, ami legfeljebb \"ot tag\'u, \'es minden tag egy k\"obsz\'am vagy annak ellentettje.	    

% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Legyen $A$ $m\times n$-es m\'atrix, $m\geq n$. Mutassuk meg, hogy $AA^T$ saj\'at\'ert\'ekei \'eppen $A^TA$ saj\'at\'ert\'ekei \'es m\'eg $m-n$ darab 0.
  

% ---------------------------------------------------------------
% ambrus
 
 \feladat Legyen $a_n$ pozit{\'\i}v, monoton cs\"okken{\H{o}}, null\'ahoz tart\'o sorozat. Legyen $\vartheta$ val\'os sz\'am, melyre $\vartheta/(2\pi)$ nem eg\'esz. L\'assuk be, hogy a k\"ovetkez\H{o} sor konvergens:
 
 $$\sum_{1\le n} e^{n \vartheta i} a_n$$
 
 
% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Van-e olyan $P\subseteq \mathbb{R}$ halmaz, ami minden\"utt s{\H{u}}r{\H{u}}, nullm\'ert\'ek{\H{u}} \'es el{\H{o}}áll megszámlálhat\'o sok ny{\'\i}lt halmaz metszetek\'ent?

% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Mutassuk meg, hogy ha $p$ p\'aratlan pr{\'\i}m, akkor a $T_p(x)$ Csebisev-polinom egy\"utthat\'oi a f{\H{o}}egy\"utthat\'o kiv\'etel\'evel oszthat\'oak $p$-vel.


% vége ----------------------------------------------------------

\end{document}

