% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 3.

8. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. április 25.

\par}\vskip1\bigskipamount


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Egy $n$ pozitív egész számot bővelkedőnek nevezünk, ha pozitív osztóinak összege nagyobb, mint $2n$. Bizonyítsuk be, hogy ha $a$ bővelkedő, $b$ pedig tetszőleges pozitív egész, akkor $ab$ is bővelkedő.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Bizony{\'\i}tsuk be, hogy ha egy racion\'alis f\"uggv\'eny v\'egtelen sok eg\'esz helyen eg\'esz sz\'amot vesz fel, akkor polinom.


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Számítsuk ki az alábbi mátrix inverzét.

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \cr
1 & \varepsilon & \varepsilon^2 & \cdots & \varepsilon^{n-1} \cr
1 & \varepsilon^2 & \varepsilon^4 & \cdots & \varepsilon^{2n-2} \cr
\vdots \cr
1 & \varepsilon^{n-1} & \varepsilon^{2n-2} & \cdots & \varepsilon^{(n-1)^2} \cr
\end{pmatrix},$$
ahol $\varepsilon=\cos(\frac{2\pi}{n})+i\sin(\frac{2\pi}{n})$.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus
 
\feladat
Legyen $f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z^1 + a_0$
tetsz\H oleges komplex polinom ($a_n \ne 0$).

L\'assuk be, hogy az 
$|a_n| x^n - |a_{n-1}| x^{n-1} - \dots - |a_1| x - |a_0|$
polinomnak egyetlen nemnegat{\'\i}v gy\"oke van, legyen ez $M$.

L\'assuk be, hogy az 
$|a_n| x^n + |a_{n-1}| x^{n-1} + \dots + |a_1| x - |a_0|$
polinomnak egyetlen nemnegat{\'\i}v gy\"oke van, legyen ez $m$.

Igazoljuk, hogy az $f(z)$ polinom gy\"okeinek abszol\'ut \'ert\'eke 
az $[m, M]$ intervallumban van.

 
% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
H\'any olyan $2n$ hossz\'u 0-1 sorozat van, amiben az egyesek sz\'ama nem haladja meg a null\'ak sz\'am\'at az els{\H o} $k$ tag k\"oz\"ott semmilyen $1\leq k \leq 2n$-re?

% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Mutassunk olyan komplex $z_n$ sorozatot, hogy minden $1 \le k$ eg\'eszre
$z_1^k + \dots + z_n^k + \dots$ konvergens, 
de $|z_1|^k + \dots + |z_n|^k + \dots$ divergens.


% vége ----------------------------------------------------------

\end{document}

