A logika útvesztőjében


Jól ismert feladattípus a logikában, A,B,C,... nevezetű emberek egymásnak ellentmondó állításokat mondanak, és ebből kell következtetnünk az igazságra, természetesen számolva azzal a szomorú lehetőséggel, hogy legalább egy közülük hazudik.Nézzünk most egy egyszerű példát:


A: Legfeljebb egyikünk mond igazat.
B: Pontosan ketten mondunk igazat.
C: Mind a hárman igazat mondunk.

Rögtön szembetűnik, hogy 3 egymást kizáró állítással van dolgunk, tehát legfeljebb egy lehet igaz közülük, így B és C nyilvánvalóan nem mond igazat. Tegyük föl, hogy A is hazudik. Ekkor senki nem mond igazat, tehát igaz az, hogy legfeljebb egyikük mond igazat, így ellentmondásra jutottunk, hiszen A-nak mégiscsak igaza van. Marad az a lehetőség, hogy A igazat mond, ekkor tényleg egyikük ember mond igazat, és állítása jól láthatóan tényleg igaz. A feladat megoldva.

Lássunk most egy látszólag egyszerűbb példát.

A: B hazudik
B: A hazudik

A szimmetria miatt érezzük, hogy a feladat megoldhatatlan, de legalább próbáljuk kihozni belőle a maximumot. Így okoskodunk: ha A igazat mond, akkor B hazudik, amiből viszont az következik, hogy A nem hazudik, tehát nincs ellentmondás. Mégsem érezzük megoldottnak a feladatot, ha ugyanis A hazudik, akkor B igazat mond, tehát A hazudik. Az egyetlen dolog, amit biztosan tudunk, hogy A és B közül pontosan az egyik hazudik. Kell azonban valamilyen plusz információ a megoldáshoz. Hogy oldanánk meg a feladatot, ha megtudjuk, hogy B hazudik? Restelljük-e végigfuttatni az előző gondolatmenetet?
Mondjuk így módosulnak az álláspontok

A: B hazudik
B: Mindketten hazudunk

Ha B igazat mondana, akkor hazudna, ha hazudik, akkor meg A igazat mond, és igy bizonyítást nyer, hogy B hazudik. És az is, hogy A igazat mond!

Nézzünk valami életszerűbbet. Ismét két ember állításai között kell eligazodni.

A: Ez a kulacs tele van.
B: Ez a kulacs üres.

Ha a kulacs tele van, akkor nem üres, ha üres akkor nincs tele, tehát A és B közül legalább az egyikük hazudik. Persze az is lehet, hogy mindketten hazudnak, mert mondjuk a kulacs pont félig van, és plusz információ nélkül megint nem megyünk semmire, sőt akkor sem, ha odajön C, és azt mondja, hogy a kulacs félig van, vagy esetleg D és E, akik viszont állítják, hogy őket ez az egész nem érdekli. A legegyszerűbb tehát az, ha belenézünk abba a kulacsba, mielőtt, mondjuk, nekivágunk vele a sivatagnak. Persze vigyázni kell, mert valószínűleg nem látunk le a kulacs aljáig, de ha nem látjuk benne csillogni a vizet, abból már lehet következtetéseket levonni.