Féloldalas polinom approximációk és alkalmazásaik a momentum problémára

Egyváltozós momentum problémának hívjuk az alábbi valószínűségszámítási feladatot. Egy valószínűségi változónak csak a várható értékét, szórását illetve további magasabb rendű momentumait ismerjük, ezen kívül még a valószínűségi változó tartója ismert. Ezen információk alapján adjunk alsó ill. felső korlátot a változó valamely függvényének várható értékére, tipikusan pl. a változó eloszlásfüggvényének valamely adott pontbeli értékére. A terület legismertebb eredményei a Markov és Csebisev egyenlőtlenségek. Természetesen ezeknél erősebb képletszerű és algoritmikus korlátok is adhatóak, melyek mindegyike féloldalas polinom approximáción alapul.

Ha a valószínűségi változó tartója a valós számok vagy a nemnegatív valós számok, akkor folytonos momentum problémáról (FMP) beszélünk. Ilyenkor a feladat az adott valós függvényt bizonyos értelemben legjobban alulról ill. felülről közelítő adott fokú polinom megtalálása. Ehhez a szemidefinit programozás nyújt segítséget. Ha a tartó diszkrét véges halmaz, akkor diszkrét momentum problémáról (DMP) beszélünk. Ilyenkor a diszkrét függvényt minél alulról és felülről közelítő Lagrange polinomokat keresünk.

A többváltozós momentum probléma annyiban különbözik az egyváltozós esettől, hogy valószínűségi vektorváltozót tekintünk, melynél adottak az egyes várható értékek, szórások, illetve a komponensek közti korreláció illetve további magasabb többváltozós momentumok. Ez esetben a közelítő polinomok is többváltozósak, amely nagyban megnehezíti a feladatot.

Az előadáson bemutatom a fent említett problémák modelljeit, megoldási módszereit.

Üzemanyagcellák numerikus modellezése homogén és heterogén paramétereloszlás esetében

Az üzemanyag vagy tüzelőanyag cellák napjainkban egyre nagyobb jelentősségre tesznek szert. Bár az első üzemanyagcellát William Grove már 1839-ben készítette, az ipari alkalmazása egészen az Apolló program megjelenéséig (1960-as évek) váratott magára. Azóta a fejlődés üteme növekszik, mivel a szükséges platina katalizátor mértékét 10 mg / cm2-ről 0,2 mg / cm2-re sikerült csökkenteni. Napjainkra számos vállfaja terjedt el és a 85%-os hatásfokának és közel zéró káros anyag kibocsátásnak köszönhetően a jövő energia és környezeti problémájának megoldása lehet. Az elméleti hatásfok közelítéséhez a matematikai modellezés és a numerikus vizsgálatok nyújtanak nagy segítséget.

Az üzemanyagcellák matematikai leírásának hátterében időfüggő (parabolikus típusú) parciális differenciálegyenlet-rendszer áll, amely a forrástagban sokszor nem lineáris. A paraméter-eloszlás homogenitásának függvényében különböző differenciálegyenletekre jutunk, melyek megoldása különböző numerikus módszereket igényel. Az előadásban az üzemanyagcellák kormányzóegyenleteiről és azok megoldásáról lesz szó.

Egy iterációs módszer parabolikus transzportegyenletek megoldására

Különböző mérnöki vagy fizikai alkalmazásokban gyakran lépnek fel olyan nemlineáris parabolikus egyenlet(rendszer)ek, melyekben diffúzió, konvekció és reakció típusú tag is szerepel. Ilyen egyenletrendszek megoldása meglehetősen munkaigényes, főleg mivel tipikusan nagyméretű problémával állunk szemben; egy jellemző példa lehet a légszennyeződési modellekből származó rendszerek. Az előadáson egy működő módszert mutatok be, amely egy implicit sémát használ az idő szerinti változóban, míg minden egyes időlépcsőn csillapított külső-belső iterációt használó Newton-módszert alkalmazunk, prekondicionált konjugált gradiens-módszerrel a belső iterációkban.