\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika A1 építőkari hallgatóknak}\\
Deriválás alkalmazása II.: szélsőérték számítás, Taylor-polinomok
(2006.~11.~8.)}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

\textbf{Szélsőérték-feladatok}

\begin{enumerate}

\item Egy körcikk területe 16 $\text{m}^2$. Mekkora a kör sugara, ha 
tudjuk, hogy a körcikk kerülete a lehető legkisebb?

\item Derékszögben hajló folyosón milyen széles táblát lehet átvinni, ha a 
folyosók szélessége 4 m és 2,5 m?

\item 1000 $\text{cm}^2$ felületű, felül nyitott hengerek közül melyiknek 
legnagyobb a térfogata? 

\item Az $f(x)=e^{-x^2}$ függvénynek melyik pontjában a legmeredekebb az 
érintő?
\end{enumerate}


\textbf{Taylor-polinomok}

\begin{enumerate}

\item Irjuk fel az $y=\sqrt x$ fügvény harmadfokú Taylor-polinomját az 
$x_0 = 1$ helyen.

\item Az előző eredmény segítségével közelítsük $\sqrt \frac 12$ értékét, 
és becsüljük meg a közelítés hibáját!

\item Tegyük fel, hogy a $\sin x$ függvény értékét "kis" $x$ értékek 
esetén $x$-szel közelítjük (ez az elsőfokú Taylor-polinomja a $\sin x$ 
függvénynek). Ha biztosak akarunk lenni benne, hogy nem tévedünk 
$0.0001$-nél nagyobbat, akkor legfeljebb mekkora $x$ esetén alkalmazhatjuk 
ezt a közelítést? 

\item Írjuk fel az $f(x)=\frac{1}{(1-x^2)}$ függvény harmadfokú 
Taylor-polinomját az $x_0=2$ pont körül!

\item Legyen $f(x)=x\sin x$. Kis $x$ értékek esetén adjunk jó közelítést a 
függvényre, olyat, amiben $x$-nek csak legfeljebb a hatodik hatványa 
szerepel!

\item Harmadfokú tagig írjuk fel az $\frac{e^x-1}{x}$ függvény 0 körüli 
Taylor-sorát!

\item Határozzuk meg a $\cos \sqrt x$ függvény 0 pont körüli 
Taylor-polinomjának az első 4 értékes tagját!

\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika A1 építőkari hallgatóknak}\\
Deriválás alkalmazása II.: szélsőérték számítás, Taylor-polinomok
(2006.~11.~8.)}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

\textbf{Szélsőérték-feladatok}

\begin{enumerate}

\item Egy körcikk területe 16 $\text{m}^2$. Mekkora a kör sugara, ha 
tudjuk, hogy a körcikk kerülete a lehető legkisebb?

\item Derékszögben hajló folyosón milyen széles táblát lehet átvinni, ha a 
folyosók szélessége 4 m és 2,5 m?

\item 1000 $\text{cm}^2$ felületű, felül nyitott hengerek közül melyiknek 
legnagyobb a térfogata? 

\item Az $f(x)=e^{-x^2}$ függvénynek melyik pontjában a legmeredekebb az 
érintő?
\end{enumerate}


\textbf{Taylor-polinomok}

\begin{enumerate}

\item Irjuk fel az $y=\sqrt x$ fügvény harmadfokú Taylor-polinomját az 
$x_0 = 1$ helyen.

\item Az előző eredmény segítségével közelítsük $\sqrt \frac 12$ értékét, 
és becsüljük meg a közelítés hibáját!

\item Tegyük fel, hogy a $\sin x$ függvény értékét "kis" $x$ értékek 
esetén $x$-szel közelítjük (ez az elsőfokú Taylor-polinomja a $\sin x$ 
függvénynek). Ha biztosak akarunk lenni benne, hogy nem tévedünk 
$0.0001$-nél nagyobbat, akkor legfeljebb mekkora $x$ esetén alkalmazhatjuk 
ezt a közelítést? 

\item Írjuk fel az $f(x)=\frac{1}{(1-x^2)}$ függvény harmadfokú 
Taylor-polinomját az $x_0=2$ pont körül!

\item Legyen $f(x)=x\sin x$. Kis $x$ értékek esetén adjunk jó közelítést a 
függvényre, olyat, amiben $x$-nek csak legfeljebb a hatodik hatványa 
szerepel!

\item Harmadfokú tagig írjuk fel az $\frac{e^x-1}{x}$ függvény 0 körüli 
Taylor-sorát!

\item Határozzuk meg a $\cos \sqrt x$ függvény 0 pont körüli 
Taylor-polinomjának az első 4 értékes tagját!

\end{enumerate}

\end{document}
