\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika A1 építőkari hallgatóknak}\\
Deriválás alkalmazása I.: érintő egyenlete, l'Hospital-szabály,
függvényvizsgálat (2006.~10.~25.)}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

\textbf{Érintő egyenlete}

Mi az $f(x)$ görbe érintőjének egyenlete az $x_0$ pontban?
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x+\frac{1}{x}, \quad x_0=4$
\item $f(x)=\cos x, \quad x_0=\frac{\pi}{3}$
\item $f(x)=\frac{x+1}{x-1}, \quad x_0=2$
\item $f(x)=\sinh 2x + 1, \quad x_0=0$
\end{enumerate}

Keressük meg a megfelelő érintőt:
\begin{enumerate}
\item Legyen $f(x)=x^3-x+1$. Állapítsuk meg, mely pont(ok)ban húzott 
érintő(k) párhozamos(ak) az $y=2x-1$ egyenessel!
\item Legyen $f(x)=x^3-6x^2+1$. Határozzuk meg annak az érintőnek az 
egyenletét, amely merőleges a $12y=x+12$ egyenesre!
\end{enumerate}

\textbf{L'Hospital szabály}
\begin{enumerate}
\item $\lim _{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}$
\item $\lim _{x\to \pi/4}\frac{\tan x-1}{\sin 4x}$
\item $\lim _{x\to \infty}\frac{x}{\ln (x+1)}$
\item $\lim _{x\to 0}\sqrt x \ln x$
\item $\lim _{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$
\end{enumerate}

\textbf{Függvényvizsgálat}


Vizsgáljuk az alábbi függvényeket a következő szempontokból:
értelmezési tartomány, értékkészlet, 
tengelymetszetek, határérték az értelmezési tartomány szélein, lokális 
szélsőérték, monotonitási tartományok, inflexiós pontok, 
konvexitás/konkávitás. Ezután ábrázoljuk hozzávetőlegesen a függvényt!

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$
\item $f(x)=x+\frac1x$
\item $f(x)=x^3+\frac{1}{5x}$
\item $f(x)=\frac{x^2}{1+x}$
\item $f(x)=\frac{x^2-x+9}{x^2+x+9}$
\item $f(x)=x+\sin x$
\item $f(x)=e^{-x^2}$
\item $f(x)=e^x\cos x$
\item $f(x)=\ln \sin x$
\end{enumerate}

\end{document}
