\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika A1 építőkari hallgatóknak}\\
Határozott integrál alkalmazásai II. (2006.~12.~06.)}\\
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}
\textbf{Forgástest térfogata}

\begin{enumerate}

\item Határozzuk meg az $y=\sin{x}$ függvény görbéjének $x$ tengely 
körüli forgatásával keletkező test térfogatát, ha a határok $(0,\pi)$ ! 

\item Határozzuk meg az $y=2x+3$ egyenes $x$ tengely körüli forgatásakor a 
$(0,m)$ szakaszon keletkező csonkakúp térfogatát!

\item Határozzuk meg az $y=\sinh{x}$ függvény görbéjének $x$ tengely 
körüli forgatásakor a $0\le x \le 4$ szakaszon keletkező forgástest 
térfogatát! 

\item Határozzuk meg az $y=x^2$ függvény görbéjének $y$ tengely 
körüli forgatásával keletkező test térfogatát, ha a határok $0\le y \le 4$ ! 

\item Határozzuk meg az $y=\ln x$ függvény görbéjének $y$ tengely 
körüli forgatásakor a 0 és 6 ordináták között keletkező test térfogatát!

\item Forgassuk meg a ciklois-ívet az $x$ tengely körül. Mi az így 
keletkező test térfogata? ($x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t,\quad 0\le t \le 
2\pi$) 

\item Mekkora az $x=\sin t,\,y=t$ paraméteres egyenletrendszerrel adott 
görbe $x$ tengely körüli forgatásakor keletkező test térfogata, ha $0\le 
t\le \pi /2$?

\end{enumerate}

\textbf{Forgástest felszíne}

\begin{enumerate}

\item Határozzuk meg az $y=2\sqrt x$ parabola $x$ tengely 
körüli forgatásával keletkező forgási paraboloid felszínét, ha az ív két 
végpontjának abszcisszái 0 és 4! 

\item Határozzuk meg az $y=\cosh x$ függvény $0\le x \le 3$ 
abszcisszákkal meghatározott ívének $x$ tengely 
körüli forgatásával keletkező forgástest palástjának felszínét! 

\item Határozzuk meg az $y=x^2$ parabola $y_1=0$ és $y_2=4$ ordinátájú 
pontjai által határolt ívének az $y$ tengely 
körüli forgatásával keletkező forgásfelszínt! 

\item Határozzuk meg a $t_1=0$ és $t_2=\pi /2$ paraméterekkel határolt 
asztroisív $x$ tengely körüli forgatásával kapott forgásfelület felszínét!
Az asztrois paraméteres egyenletrendszere: $x=\cos^3 t,\quad y=\sin ^3 t$.

\end{enumerate}

\textbf{Súlypontszámítás}

\begin{enumerate}

\item Határozzuk meg az $y=\cos x$ függvény $(0,\pi /2)$ intervallumbeli 
görbeszakasza, valamint a két koordinátatengely által határolt lemez 
súlypontját!

\item Határozzuk meg a negyedkörlemez súlypontját!

\end{enumerate}

\end{document}
