\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika A1 építőkari hallgatóknak}\\
Határozott integrál alkalmazásai I. (2006.~11.~29.)}\\
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}
\textbf{Területszámítás}

\begin{enumerate}

\item Határozzuk meg az $y=\frac{1}{x}$ függvény görbéje és az $x$ tengely 
közé eső területet a $(3,4)$ intervallumon! 

\item Határozzuk meg az $y=2x+3$ függvény görbéje, az $x$ tengely és az 
$x=4$ egyenletű egyenes által határolt síkrész területét!

\item Határozzuk meg integrálás segítségével az origó középpontú, 1 
sugarú kör $x$ tengely feletti részének területét!

\item Mekkora síkrészt fognak közre az $y=\sin x$ függvény görbéje, 
valamint az $x=\frac{7\pi}{3},\,x=\frac{8\pi}{3}$ és az $y=0$ egyenletű 
egyenesek?

\item Ábrázoljuk ugyanabban a koordinátarendszerben az $f(x)=\sin x$ és 
$g(x)=\cos x$ függvényeket, majd számítsuk ki, hogy mekkora területűek az 
e görbék által közrefogott tartományok!

\item Legyen $M_1=\{(x,y)|x^2+y^2\le 16\}$ és $M_2=\{(x,y)|y\ge 
\frac{x^2}{6}\}$. Mekkora a területe az $M_1\cap M_2$ halmaz 
koordinátasíkon ábrázolt képének?

\item Határozzuk meg az $y=x^2$ és $y^2=x$ görbék által bezárt 
területet!

\item Határozzuk meg az $y=x^2$ és $y=-x^2+2$ görbék által bezárt 
területet!

\item Számítsuk ki az $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ egyenletű ellipszis területét!

\item Számítsuk ki az $r(\varphi)=\frac{1}{2}+\frac{\cos 
\varphi}{2}$, $0\le \varphi \le 2\pi$ egyenlettel megadott szektorszerű 
tartomány területét!

\item Határozzuk meg az $x=t^2,\,y=3t^3$ parabola és az $x$ tengely 
által bezárt területet a $t_1=1$ és $t_2=3$ paraméterhatárok között!

\item Határozzuk meg a ciklois-ív és az $x$ tengely által bezárt 
területet! A ciklois egyenletrendszere: $x=4(t-\sin t),\,y=4(1-\cos t)$.

\end{enumerate}

\textbf{Ívhossz}

Számoljuk ki az adott függvény grafikonjának az adott intervallumhoz 
tartozó ívhosszát!

\begin{enumerate}

\item $f(x)=x^2,\,1\le x\le 4$

\item $f(x)=\ln x,\,2\le x\le 6$

\item $f(x)=\ln \sin x,\,\frac{\pi}{4}\le x\le \frac{\pi}{2}$

\item $x=t-\sin t,\,y=1-\cos t,\,0\le t\le 2\pi$

\item $x=5\cos^3 t,\,y=5\sin^3 t,\,0\le t\le \frac{\pi}{3}$

\item $r(\varphi)=a(1+\cos \varphi),\,0\le \varphi \le 2\pi$

\end{enumerate}

\end{document}
