\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika A1 építőkari hallgatóknak}\\
Integrálás gyakorlófeladatok MEGOLDÁSSAL (2006.~11.~15.)}\\
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Hatványfüggvény:
$\int x^2(x^2-1)\mathrm{d}x=\int (x^4-x^2)\mathrm{d}x=
\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+C$

\item Hatványfüggvény:
$\int \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\int x^{-2}\mathrm{d}x=-x^{-1}+C$

\item Hatványfüggvény:
$\int \frac{\sqrt{x}-x+x^4}{x^2}\mathrm{d}x=
\int (x^{-\frac32}-x^{-1}+x^2)\mathrm{d}x=
-2x^{-\frac12}-ln|x|+\frac{x^3}{3}+C$

\item Hatványfüggvény:
$\int \frac{(x+1)(x^2-3)}{3x^2}\mathrm{d}x=
\int \frac{x^3+x^2-3x-3}{3x^2}\mathrm{d}x=
\int (\frac{x}{3}+\frac13-\frac1x-\frac{1}{x^2}) \mathrm{d}x=
\frac{x^2}{6}+\frac{x}{3}-\ln|x|+\frac1x+C$

\item Rac.~törtfüggvény, számláló foka nagyobb:
$\int \frac{x^2-4x+7}{x-2}\mathrm{d}x=
\int \frac{(x-2)^2+3}{x-2}\mathrm{d}x=\int 
(x-2+\frac{3}{x-2})\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}-2x+3\ln|x-2|+C$

\item Hatványfüggvény:
$\int (2x+3\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+1}) \mathrm{d}x=
x^2+2x^{\frac32}+\frac34(x+1)^{\frac43}+C$

\item Rac.~törtfüggvény, 1. típus:
$\int \frac{3}{2x+5} \mathrm{d}x=\frac32\int 
\frac{1}{x+\frac52}\mathrm{d}x=\frac32\ln|x+\frac52|+C$

\item Rac.~törtfüggvény, számláló foka megegyezik a nevező 
fokával:
$\int \frac{3x+10}{2x+5}\mathrm{d}x=\frac32\int 
\frac{2x+5+\frac53}{2x+5}\mathrm{d}x=
\frac32\int(1+\frac{5}{6x+15})\mathrm{d}x=
\frac{3x}{2}+\frac32\frac56\ln|x+\frac{15}{6}|+C$

\item Rac.~törtfüggvény, 4. típus:
$\int \frac{3}{2x^2+5}\mathrm{d}x=
\frac32\int \frac{1}{x^2+\frac52}\mathrm{d}x=
\frac32\frac25\int \frac{1}{(\sqrt{\frac25}x)^2+1}\mathrm{d}x=
\frac35\sqrt{\frac52}\arctan (\sqrt{\frac25}x)+C$, hiszen a 
helyettesítés: 
$t=\sqrt{\frac25}x,\quad x=\sqrt{\frac52}t,\quad 
\mathrm{d}x=\sqrt{\frac52}\mathrm{d}t$

\item Rac.~törtfüggvény, 5. típus:
$\int \frac{3x}{2x^2+5}\mathrm{d}x=\frac34\int 
\frac{4x}{2x^2+5}\mathrm{d}x=\frac34\ln(2x^2+5)+C$

\item Rac. törtfüggvény, 5. típus + 4. típus:
$\int \frac{3x+10}{2x^2+5}\mathrm{d}x=
\frac34\ln(2x^2+5)+2\sqrt{\frac52}\arctan (\sqrt{\frac25}x)+C$
(ld. az előző két feladatot!)

\item Rac.~törtfüggvény, számláló fokszáma nagyobb, majd 1. 
típus:
$\int \frac{3x^2}{2x+5}\mathrm{d}x=
\int \frac{(2x+5)(\frac32 x-\frac{15}{4})+\frac{75}{4}}
{2x+5}\mathrm{d}x=
\int (\frac32 x-\frac{15}{4}+\frac{75}{8x+20})\mathrm{d}x=
\frac{3x^2}{4}-\frac{15x}{4}+\frac{75}{8}\ln|x+\frac{20}{8}|+C$

\item Rac.~törtfüggvény, számláló foka megegyezik a nevezőével, 
majd 4. típus:
$\int \frac{3x^2}{2x^2+5}\mathrm{d}x=
\int \frac{\frac32(2x^2+5)-\frac{15}{2}}{2x^2+5}\mathrm{d}x=
\int (\frac32-\frac{15}{4x^2+10})\mathrm{d}x=
\frac{3x}{2}-\frac{15}{4}\int \frac{1}{x^2+\frac{10}{4}}\mathrm{d}x=
\frac{3x}{2}-\frac{15}{4}\frac{4}{10}\int 
\frac{1}{(\frac{2x}{\sqrt{10}})^2+1}\mathrm{d}x=
\frac{3x}{2}-\frac32\frac{\sqrt{10}}{2}\int 
\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\frac{3x}{2}-\frac{3\sqrt{10}}{4}\arctan 
(\frac{2x}{\sqrt{10}})+C$, hiszen a helyettesítés: 
$t=\frac{2}{\sqrt{10}}x,\quad x=\frac{\sqrt{10}}{2}t,\quad 
\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\mathrm{d}t$

\item 2. típus:
$\int \frac{3}{\sqrt{2x+5}}\mathrm{d}x=
\frac32\int 2(2x+5)^{-\frac12}\mathrm{d}x=3(2x+5)^{\frac12}+C$

\item 3. típus:
$\int \frac{3x}{\sqrt{2x+5}}\mathrm{d}x=
\int \frac{\frac32(2x+5)-\frac{15}{2}}{\sqrt{2x+5}}\mathrm{d}x=
\frac32 \int\sqrt{2x+5}\mathrm{d}x-\frac{15}{2}\int 
\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\mathrm{d}x=\frac12(2x+5)^{\frac32}-\frac{15}{2}(2x+5)^{\frac12}+C$

\item Helyettesítés:
$\int \frac{3}{\sqrt{2x^2+5}}\mathrm{d}x=\frac{3}{\sqrt{2}}\int 
\frac{1}{\sqrt{\frac52((\sqrt{\frac25}x)^2+1)}}\mathrm{d}x=
\frac{3}{\sqrt{5}}\sqrt{\frac52}\int\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm{d}t=
\frac{3}{\sqrt{2}}arsh (\sqrt{\frac25}x)+C$, hiszen a 
helyettesítés: 
$t=\sqrt{\frac25}x,\quad x=\sqrt{\frac52}t,\quad 
\mathrm{d}x=\sqrt{\frac52}\mathrm{d}t$

\item $f'(x)f^n(x)$ alakú:
$\int \frac{3x}{\sqrt{2x^2+5}}\mathrm{d}x=
\frac34\int 4x(2x^2+5)^{-\frac12}\mathrm{d}x=
\frac32(2x^2+5)^{\frac12}+C$

\item Vegyes (összegre bontás és két helyettesítés + ch és sh 
azonosságai):
$\int \frac{3x^2+4x+7,5}{\sqrt{2x^2+5}}\mathrm{d}x=
\int \frac{\frac32(2x^2+5)+4x}{\sqrt{2x^2+5}}\mathrm{d}x=
\frac32\int\sqrt{2x^2+5}\mathrm{d}x+
\int\frac{4x}{\sqrt{2x^2+5}}\mathrm{d}x$. 
\par Az összeg első felének számolása: 
$\frac32\int\sqrt{2x^2+5}\mathrm{d}x=
\frac32\sqrt{2}\int\sqrt{x^2+\frac52}\mathrm{d}x=
\frac32\sqrt{2}\sqrt{\frac52}\int\sqrt{(\sqrt{\frac25}x)^2+1}\mathrm{d}x 
=\frac32\sqrt{2}\frac52\int\sqrt{sh^2t+1}ch t \mathrm{d}t=
\frac{15\sqrt{2}}{4}\int ch^2t\mathrm{d}t=
\frac{15\sqrt{2}}{4}\int\frac{ch 2t+1}{2}\mathrm{d}t=
\frac{15\sqrt{2}}{4}\frac{sh 2t}{4}+\frac{15\sqrt{2}}{8}t+C=
\frac{15\sqrt{2}}{4}(\frac{sh 
2arsh(\sqrt{\frac25}x)}{4}+\frac{arsh 
(\sqrt{\frac25}x)}{2})+C$, 
mert a helyettesítés: $sh t=
\sqrt{\frac25}x, \quad x=\sqrt{\frac52}sh t,\quad 
\mathrm{d}x=\sqrt{\frac52}ch t\mathrm{d}t$, és $t=arsh 
(\sqrt{\frac25}x)$.
\par Az összeg második felének számolása:
$\int4x(2x^2+5)^{-\frac12}\mathrm{d}x=2(2x^2+5)^{\frac12}+C$. 
\par A feladat megoldása tehát a kettő összege:
$\int \frac{3x^2+4x+7,5}{\sqrt{2x^2+5}}\mathrm{d}x=
\frac{15\sqrt{2}}{4}(\frac{sh 2arsh(\sqrt{\frac25}x)}{4}+
\frac{arsh(\sqrt{\frac25}x)}{2})+2(2x^2+5)^{\frac12}+C$. 


\item Hatványfüggvény, exponenciális függvény (alap):
$\int (x^5+5^x)\mathrm{d}x=\frac{x^6}{6}+\frac{5^x}{\ln 5}+C$

\item Trigonometrikus (alap):
$\int (4\sin x-3\cos x)\mathrm{d}x=-4\cos x-3\sin x+C$

\item $f'/f$ alakú:
$\int \tan x\mathrm{d}x=\int \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x=
-\ln |\cos x|+C$

\item Trigonometrikus átalakítás:
$\int \tan ^2 x\mathrm{d}x=\int \frac{1-\cos ^2 
x}{\cos ^2 x}\mathrm{d}x=\int (\frac{1}{\cos ^2 
x}-1)\mathrm{d}x=-\cot x-x+C$

\item Trigonometrikus átalakítás:
$\int \frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}\mathrm{d}x=
\int \frac{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}{\cos 
x-\sin x}\mathrm{d}x=\sin x-\cos x+C$

\item Hiperbolikus átalakítás:
$\int \frac{1}{\sinh x+\cosh x}\mathrm{d}x=\int 
\frac{\cosh ^2 x-\sinh^2 x}{\sinh x+\cosh x}\mathrm{d}x=
\sinh x-\cosh x+C$

\item Trigonometrikus átalakítás:
$\int \sin ^2 x\mathrm{d}x=\int \frac{1-\cos 2x}{2}\mathrm{d}x=
\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$

\item $f'/f$ alakú: 
$\int \frac{e^x}{e^x+11}\mathrm{d}x=
\ln (e^x+11)+C$

\item $f'/f$ alakú:
$\int \frac{\cos 3x}{8+\sin 3x}\mathrm{d}x=\frac13\ln|\sin 3x+8|
+C$

\item $f'/f$ alakú:
$\int \frac{1}{x(\ln x+2003)}\mathrm{d}x=\ln|\ln x+2003|
+C$

\item $f'\cdot f^n$ alakú:
$\int x\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=-\frac12\int 
2x\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=-\frac12\frac23(1-x^2)^{\frac32}
+C$

\item $f'\cdot f^n$ alakú:
$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x=\frac12\int 
\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x=\sqrt{x^2+1}
+C$

\item $f'\cdot f^n$ alakú:
$\int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}\mathrm{d}x=2\sqrt{\sin x}
+C$

\item $f'\cdot f^n$ alakú:
$\int \frac{\sqrt{\ln x}}{x}\mathrm{d}x=\int 
\frac{1}{x}\sqrt{\ln x}\mathrm{d}x=\frac23(\ln x)^{\frac32}
+C$

\item $f'\cdot f^n$ alakú:
$\int \sqrt[3]{\cos ^7 x}\sin x\mathrm{d}x=\frac{3}{10}(\cos 
x)^{\frac{10}{3}}
+C$

\item alapintegrál:
$\int e^{-x}\mathrm{d}x=-e^{-x}
+C$

\item exponenciális függvény:
$\int 5^{2-3x}\mathrm{d}x=-\frac13\frac{5^{2-3x}}{\ln 5}
+C$

\item Helyettesítés:
$\int e^{\sin x}\cos x\mathrm{d}x=e^{\sin x}+C
+C$, itt a helyettesítés: $t=\sin x,\quad \mathrm{d}t=\cos 
x\mathrm{d}x$.

\item $f'\cdot f^n$ alakú:
$\int x\sqrt{25+x^2}\mathrm{d}x=\frac13(25+x^2)^{\frac32}
+C$

\item $f'\cdot f^n$ alakú: 
$\int \frac{14}{(6-4x)^7}\mathrm{d}x=-\frac72\int 
(-4)(6-4x)^{-7}\mathrm{d}x=\frac{7}{12}(6-4x)^{-6}
+C$

\item $f'\cdot f$ alakú:
$\int \frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=frac{\ln ^2 x}{2}
+C$

\item Parciális ($u=x,\quad v'=\sin 3x$):
$\int x\sin 3x\mathrm{d}x=-~frac13x\cos 3x+\int \cos 
3x\mathrm{d}x=-\frac13x\cos 3x+\frac13\frac13\sin 3x
+C$

\item Parciális (átalakítás után majdnem ua.~mint az előző):
$\int x\sin x\cos x\mathrm{d}x=\frac12\int x\sin 2x\mathrm{d}x=
-\frac14x\cos 2x+\frac18\sin 2x+C$

\item Összeggé bontás után kétszer parciális ($u_1=2x,\quad 
v_1'=-\cos x$ és $u_2=x,\quad v_2'=\sin x$):
$\int (x^2-1)\sin x\mathrm{d}x=
\int x^2\sin x\mathrm{d}x-\int \sin x\mathrm{d}x=
-x^2\cos ^2 x+2\int x\cos x \mathrm{d}x+\cos x=
-x^2\cos x+2x\sin x+3\cos x+C$

\item Parciális ($u=\ln x,\quad v'=1$):
$\int \ln x\mathrm{d}x=x\ln x\int 1\mathrm{d}x=x\ln x-x
+C$

\item Két módszer:
\begin{enumerate}
\item Parciális ($u=\ln x,\quad v'=\ln x$, felhasználva az 
előző feladat eredményét):
$\int \ln^2 x\mathrm{d}x=\ln x(x\ln x-x)-\int (\ln 
x -1)\mathrm{d}x=x\ln^2 x-2x\ln x+2x
+C$

\item Helyettesítés ($t=\ln x,\quad x=e^t,\quad 
\mathrm{d}x=e^t\mathrm{d}t$), majd kétszer parciális: ezzel is 
ugyanaz az eredmény.
\end{enumerate}

\item Parciális, ugyanaz az ismeretlen integrál a jobboldalon, 
tehát egyenletrendezésből kijön:
$\int x^2\ln x\mathrm{d}x=x^2(x\ln x-x)-\int 
2x(x\ln x-x)\mathrm{d}x=x^3\ln x-x^3-2\int x^2\ln 
x\mathrm{d}x+\frac23x^3$, ebből a kérdezett integrál 
$\frac13x^3\ln x-\frac19x^3$.

\end{enumerate}

\end{document}
