\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\usepackage{fullpage}
%\setlength{\hoffset}{-3 cm}
%\setlength{\voffset}{-4 cm}

%\addtolength{\textwidth}{5 cm}
%\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika A1 építőkari hallgatóknak}\\
Komplex számok (2006.~09.~13.)}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

\begin{enumerate} 

\item Algebrai alak $\leftrightarrow$ trigonometrikus alak 
($\leftrightarrow$ exponenciális alak)

A komplex számokat ($z$) a síkon ábrázolva kétféle módon jellemezhetjük: 
egyrészt a valós tengelyre ill.~a képzetes tengelyre vonatkozó 
koordinátáikkal (ez az algebrai alak), másrészt a $z$-nek megfelelő vektor 
hosszával ($r$) és a vektornak a valós tengellyel bezárt szögével 
($\varphi$), ez a trigonometrikus alak. (Az $r$ és $\varphi$ adatok 
segítségével felírhatjuk a számot ún.~exponenciális alakban is.)
Azaz
\[
z = a + bi = r(\cos \varphi + i\sin \varphi) \quad \quad(= re^{i\varphi}),
\]
ahol $r =|z|= \sqrt{a^2+b^2}$ a komplex számnak megfelelő vektor hossza és 
$\varphi = \arctan {b/a}$ a valós tengellyel bezárt szöge.

Adjuk meg az alábbi számok algebrai alakját!

\begin{enumerate}
\item $r=2$, $\varphi=30^\circ$
\item $r=3$, $\varphi=-45^\circ$
\item $r=4$, $\varphi=\pi/2$
\item $r=0$, $\varphi=\frac{3\pi}{4}$
\end{enumerate}

Adjuk meg az alábbi számok trigonometrikus alakját!

\begin{enumerate}
\item $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i$
\item $-3$
\item $1+i$
\item $-\sqrt 3 + i$
\end{enumerate}

\item Osztás, szorzás trigonometrikus alakban

Algebrai alakban adott komplex számok szorzása és osztása 
az előadáson elhangzott módon történik, ld.~a feladatokban.

Trigonokmetrikus alakban a következőképpen történik a szorzás és osztás: 
ha $z_1 = r_1(\cos \varphi _1 + i\sin \varphi _1)$ és 
$z_2 = r_2(\cos \varphi _2 + i\sin \varphi _2)$, akkor
\[
z_1z_2 = r_1r_2(\cos (\varphi _1 + \varphi _2) 
+ i\sin (\varphi _1 + \varphi _2)),
\] 
és
\[
\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos (\varphi _1 - \varphi _2) 
+ i\sin (\varphi _1 - \varphi _2)),
\] 
tehát a komplex számoknak megfelelő vektorok hossza a valós számoknál 
megszokott módon szorzódik (osztódik), a vektorok szöge pedig
szorzás esetén összeadódik, míg osztáskor kivonódik.

Számítsuk ki az alábbi szorzatok és hányadosok értékét!

\begin{enumerate}
\item $(1+2i)(-3i)=?$
\item $z_1=3(\frac{\sqrt 3}{2}-\frac{1}{2}i),\quad 
z_2=\frac13(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}),\quad z_1z_2=?$
\item $z_1=\sqrt 2+i\sqrt 2,\quad z_2=2(\cos 80^\circ+i\sin 
80^\circ),\quad z_1z_2=?$
\item $\frac{2+3i}{4-i}=?$
\item $z_1=3(\cos \frac{\pi}{12} + i\sin \frac{\pi}{12}),\quad
z_2=\sqrt 3(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}),\quad 
\frac{z_1}{z_2}=?$
\end{enumerate}

\item Hatványozás, gyökvonás

Hatványozás és gyökvonás komplex számok esetén trigonometrikus alakban 
történik. Hatványozás: ha $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ és 
$n$ valós, akkor
\[
z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi).
\]
A gyökvonás bonyolultabb, mert komplex számok esetén nem egyértelmű 
művelet a gyökvonás. Ha $n$-edik gyökét keressük egy számnak, akkor $n$ 
megoldás létezik, ezek mindegyikét meg kell találni, a következőképpen:
ha $z = r(\cos \varphi  + i\sin \varphi )$, akkor 
\[
\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + 
i\sin\frac{\varphi + 2k\pi}{n}),
\]
ahol $0 \le k \le n-1$, $k$ egész szám.

Adjuk meg az alábbi kifejezések értékét trigonometrikus alakban! 

\begin{enumerate}
\item $(\sqrt 2(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4}))^4$
\item $(2\sqrt 3+2i)^3$
\item $(2\sqrt 3+2i)^{-4}$
\item $\sqrt{2+2\sqrt 3i}$
\item $\sqrt 1,\quad \sqrt{-1}$
\item $\sqrt[3]{-4\sqrt 2 + i4\sqrt 2}$
\item $\sqrt[4]{-4\sqrt 2 + i4\sqrt 2}$
\end{enumerate}

\item Komplex változós egyenletek

Az eddigiek felhasználásával oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
\begin{enumerate}
\item $(z-i)(4-i)=10i-6$
\item $(1-i)^{-8}=iz$
\item $z^3+16z=0$
\item $z^5+32=0$
\item $\frac{1+i}{1-i}=(1-z)^3$
\item $z^2-4z+10=0$
\item $z^2+iz+\frac{\sqrt 3}{4}i=0$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
