\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\usepackage{fullpage}
%\setlength{\hoffset}{-3 cm}
%\setlength{\voffset}{-4 cm}

%\addtolength{\textwidth}{5 cm}
%\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika A1 építőkari hallgatóknak}\\
Vektorok, térgeometria (2006.~09.~20.)}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

\textbf{Alapvető műveletek vektorokkal}


\begin{enumerate} 


\item Pontok és vektorok, vektor hossza
\begin{enumerate}
\item Írjuk fel az $A$-ból $B$-be mutató vektort, $A(-1,2,4)$, $B(0,2,1)$.
\item Mennyi $|(1,2,-2)|$?
\item Mennyi $|(-4,3,0)|$?
\item Mennyi legyen $x$, hogy az $(x,3,-1)$ vektor hossza 1 legyen?
\item Mekkora az $A(1,1,1)$ és a $B(4,0,-1)$ pontok távolsága?
\end{enumerate}

\item Skaláris szorzás
\begin{enumerate}
\item $(1,2,0)\cdot(-1,4,2)$
\item $(2,-1,1)\cdot(-1,4,2)$
\item $(3,-1,2)\cdot(-1,2,2)$
\item Mennyi legyen $y$, hogy $(3,-1,2)$ merőleges legyen $(-1,y,2)$-re?
\item Határozzuk meg $(1,2,0)$ merőleges vetületének hosszát 
$(-1,4,2)$-re!
\item Határozzuk meg az $(1,2,0)$ vektor $(-1,4,2)$-re vett merőleges 
vetület vektorát!
\end{enumerate}

\item Vektoriális szorzás
\begin{enumerate}
\item $(1,0,0)\times(0,1,0)$
\item $(1,1,2)\times(-1,2,1)$
\item $(1,1,2)\times(2,2,4)$
\item $(2,1,0)\times(-1,2,1)$
\item Mekkora a $(2,1,0)$ és a $(-1,2,1)$
vektorok által kifeszített paralelogramma területe?
\end{enumerate}

\item Vegyesszorzat
\begin{enumerate}
\item Mekkora a $(2,1,0)$, a $(-1,2,1)$ és a $(0,2,1)$ vektorok által 
kifeszített parallelepipedon térfogata?
\item Egy síkban vannak-e a következő vektorok: $(2,1,0)$, a $(-1,2,1)$,
$(1,1,1/5)$? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{6cm}
\textbf{Térgeometria}

\begin{enumerate}

{\item Egyenes egyenlete
\begin{enumerate}
\item Mi az $\frac{x-2}{3}=y-4=\frac{z+2}{2}$ egyenletekkel adott egyenes 
paraméteres alakja, illetve mi az irányvektora?
\item Legyen $A(0,1,2)$ és $B(1,2,-5)$. Mi az $AB$ egyenes egyenlete?
\item Mi annak az $A(0,1,2)$ ponton átmenő egyenesnek az egyenlete, ami 
párhuzamos az $(1-2t,3+t,t)$ egyenessel?
\end{enumerate}}

{\item Sík egyenlete
\begin{enumerate}
\item Legyen $A(0,1,2)$ és $B(1,2,-5)$. Mi az $AB$-re merőleges, az $A$ 
pontot tartalmazó sík egyenlete?
\item Írjuk fel a következő három pontra illeszkedő sík egyenletét: 
$(1,2,3)$, $(-2,0,0)$, $(3,6,-1)$.
\end{enumerate}}

{\item Egyenesek egymáshoz viszonyított helyzete
\begin{enumerate}
\item Milyen a két egyenes egymáshoz viszonyított helyzete: $(2+t,3+t,t)$ 
és $(1+u,2-u,-1+2u)$?
\item Milyen a két egyenes egymáshoz viszonyított helyzete: 
$(3-t,\sqrt 2,5+t)$ és $(2-u,2\sqrt 2,8+u)$?
\item Milyen a két egyenes egymáshoz viszonyított helyzete: $(4t,4t,3)$ 
és $(1,3t,-4-6t)$?
\end{enumerate}}

\item Síkok egymáshoz viszonyított helyzete
\begin{enumerate}
\item Az alábbiak közül mely síkok merőlegesek a $12x+3y-4z=2006$ síkra:
$3x-4y+6z=1978$, $24x+6y-8z=2000$, $x+4y-6z=2024$, $x+3z=2050$?
\item Határozzuk meg a $x-y+2z-5=0$ és $3x+y-z-2=0$ síkok metszésvonalát!
\item Határozzuk meg a $-2x+2y+z=9$ és $-2x+2y+z=-8$ síkok távolságát!
\end{enumerate}

\item Gúla térfogata
\begin{enumerate}
\item Mekkora a $(2,1,0)$, a $(-1,2,1)$ és a $(0,2,1)$ vektorok által 
kifeszített gúla térfogata?
\item Határozzuk meg a következő pontok által határolt gúla térfogatát:
$A(1,1,2)$, $B(2,2,5)$, $C(2,0,2)$, $D(1,3,3)$.
\end{enumerate}

\item Egyenes és sík
\begin{enumerate}
\item Adjuk meg a $2x+y-3z$ síkra merőleges, $A(1,0,-1)$ ponton átmenő 
egyenes egyenletét!
\item Határozzuk meg az $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=z+1$ egyenes és a 
$2x+3y+z=0$ sík döféspontját!
\end{enumerate}

\item Sík és pont
\begin{enumerate}
\item Mely pontok vannak a következők közül rajta a $2x+y-3z=4$ síkon: 
$A(2,0,1)$, $B(1,1,-1/3)$? Mennyi legyen $y$, hogy a $C(2,y,1)$ pont rajta 
legyen a síkon? 
\item Határozzuk meg a $2x-y+2z+4=0$ sík távolságát az $A(1,2,3)$ ponttól!
\item Határozzuk meg a $2x-y+2z+1=0$ sík távolságát az origótól!
\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}
