\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\usepackage{fullpage}
%\setlength{\hoffset}{-3 cm}
%\setlength{\voffset}{-4 cm}

%\addtolength{\textwidth}{5 cm}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }
\newcommand*{\dx}{\mathrm{d}x}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika A2 építőkari hallgatóknak}\\
Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok I. (2012.~10.~08.)}\\ 
\end{center}

\begin{enumerate}


\item Oldjuk meg a k\"ovetkez\H o egyenletrendszert!
\[
\left.
\begin{array}{ccccccccc}
x_1 & + & 3x_2 & + & x_3 & - & x_4 & = & 7\\
2x_1 & + & 5x_2 & - & x_3 & + & 2x_4 & = & 22\\
3x_1 & + & 8x_2 & + & x_3 & - & x_4 & = & 24
\end{array}
\right\}
\]

\item Az al\'abbi $A,\,B,\,C,\,D$ m\'atrixok lineáris egyenletrendszereket reprezentálnak. Határozzuk meg a megoldást!
\[
  A=
  \left(
  \begin{array}{cccc}
  0 & 1 & 0 & 0\\
  0 & 0 & 0 & 1\\
  0 & 0 & 0 & 0
  \end{array}
  \right|
  \left.
  \begin{array}{c}
  1\\
  2\\
  5
  \end{array}
  \right),\,
  B=
  \left(
  \begin{array}{cccc}
  1 & 0 & 1 & 1\\
  0 & 0 & 1 & 3\\
  0 & 0 & 0 & 0
  \end{array}
  \right|
  \left.
  \begin{array}{c}
  2\\
  1\\
  0
  \end{array}
  \right),\,
  C=
  \left(
  \begin{array}{cccc}
  1 & 0 & 2 & 3\\
  0 & 2 & 0 & 0\\
  \end{array}
  \right|
  \left.
  \begin{array}{c}
  4\\
  1
  \end{array}
  \right),\,
  D=
  \left(
  \begin{array}{ccc}
  1 & 0 & 2\\
  1 & 3 & 1\\
  0 & 0 & 1
  \end{array}
  \right|
  \left.
  \begin{array}{c}
  0\\
  2\\
  0
  \end{array}
  \right)
\]

\item Hat\'arozzuk meg $k$ \'ert\'ek\'et \'ugy, hogy a k\"ovetkez\H o
egyenletrendszer megoldhat\'o legyen, \'es hat\'arozzuk meg a megold\'ast!
\[
\left.
\begin{array}{ccccccccc}
x_1 & - & 2x_2 & + & 3x_3 & - & 4x_4 & = & 4\\
& & x_2 & - & x_3 & + & x_4 & = & -3\\
x_1 & + & 3x_2 & & & - & 3x_4 & = & k\\
& - & 7x_2 & + & 3x_3 & + & x_4 & = & -3
\end{array}
\right\}
\]


\item Határozzuk meg a következő mátrixok determinánsát!
\[
  A=
  \left|
  \begin{array}{cc}
  1 & 0\\
  0 & 1\\
  \end{array}
  \right|,\,
  B=
  \left|
  \begin{array}{cc}
  2 & 3\\
  1 & -1\\
  \end{array}
  \right|,\,
  C=
  \left|
  \begin{array}{cc}
  1 & -1\\
  3 & -2\\
  \end{array}
  \right|,\,
  D=
  \left|
  \begin{array}{cc}
  -2 & -1\\
  8 & 4\\
  \end{array}
  \right|,\,
  E=
  \left|
  \begin{array}{ccc}
  1 & 1 & 2\\
  2 & -1 & 2\\
  4 & 1 & 4\\
  \end{array}
  \right|,\,
  F=
  \left|
  \begin{array}{cccc}
  3 & 1 & -1 & 2\\
  -5 & 1 & 3 & -4\\
  2 & 0 & 1 & -1\\
  1 & -5 & 3 & -3\\
  \end{array}
  \right|
\]


\item Oldjuk meg Cramer-szab\'allyal az al\'abbi egyenletrendszereket!

\[
\left.
\begin{array}{ccccccc}
x & + & y & + & 2z & = & -1\\
2x & - & y & + & 2z & = & -4\\
4x & + & y & + & 4z & = & -2
\end{array}
\right\}
\left.
\begin{array}{ccccccc}
2x & - & 5y & + & 3z & = & -4\\
3x & - & 2y & + & z & = & 3\\
x & - & 3y & + & 5z & = & -6
\end{array}
\right\}
\]


\item Oldjuk meg a k\"ovetkez\H o homog\'en line\'aris egyenletrendszereket:

\[
\left.
\begin{array}{ccccccc}
x & + & 3y & + & 2z & = & 0\\
2x & - & y & + & 3z & = & 0\\
3x & - & 5y & + & 4z & = & 0
\end{array}
\right\}
\mbox{ , illetve }
\left.
\begin{array}{ccccccc}
x & + & 2y & + & z & = & 0\\
& & y & - & z & = & 0\\
5x & + & 4y & & & = & 0
\end{array}
\right\}
\]

\item F\"uggetlen-e az al\'abbi vektorrendszer?
\begin{enumerate}
\item $\{a_1=(1,2,0),\,a_2=(0,0,1),\,a_3=(1,1,1)\}$
\item $\{a_1=(1,2,0),\,a_2=(2,4,5),\,a_3=(0,0,1)\}$
\end{enumerate}


\item Az $a$ \'es $b$ param\'eterek k\"ul\"onb\"oz\H o \'ert\'ekeire
h\'any megold\'asa van az al\'abbi egyenletrendszernek?
\[
\left.
\begin{array}{ccccccc}
x & + & y & + & z & = & 5\\
x & + & 2y & + & 2z & = & 9\\
x & + & 3y & + & az & = & b
\end{array}
\right\}
\]


\item Tekints\"uk a k\"ovetkez\H o egyenletrendszert!
\[
\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 4 & 7 & -2\\
3 & 14 & 23 & -8\\
-2 & 0 & -6 & -4\\
4 & 1  & 13 & p
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
12\\
40\\
-8\\
q
\end{array}
\right]
\]

\begin{enumerate}
\item A $p$ \'es $q$ param\'eterek mely \'ert\'eke mellett nincs megold\'as?
\item Lehet-e \'ugy v\'alasztani a param\'etereket, hogy pontosan 1 
megold\'as legyen?
\item hogy v\'egtelen sok megold\'as legyen?
\item Mi a megold\'as (van-e), ha $p=18$ \'es $q=19$?
\end{enumerate}

\item
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H o egyenletrendszert!
\[
\left[
\begin{array}{cccc}
2 & 5 & 1 & 3\\
4 & 6 & 3 & 5\\
4 & 14 & 1 & 7\\
2 & -3  & 3 & t
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
2 \\
4 \\ 
4 \\ 
7
\end{array}
\right]
\]

Meg lehet-e v\'alasztani a $t$ param\'eter \'ert\'ek\'et (hogyan?), \'ugy,
hogy
\begin{enumerate}
\item pontosan egy megold\'as legyen
\item ne legyen megold\'as
\item v\'egtelen sok megold\'as legyen 
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}

