\documentclass[a4paper,10pt]{article}%
%\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage[inline]{enumitem}

\setlength{\hoffset}{-3 cm}% -3.7
\setlength{\voffset}{-3 cm}%
\addtolength{\textwidth}{5 cm}% 6.8
\addtolength{\textheight}{5 cm}%

\newcommand*{\kul}{k\"ul\"onb\"oz\H o}%
\newcommand*{\val}{val\'osz\'{\i}n\H us\'eg}%
\newcommand*{\pr}{\mathbb{P}}%
\newcommand*{\ev}{\mathbb{E}}%
\renewcommand*{\P}{\mathbb{P}}%
\newcommand*{\E}{\mathbb{E}}%
\newcommand*{\sd}{\mathbb{SD}}%
\newcommand*{\cov}{\mathrm{Cov}}%
\newcommand*{\corr}{\mathrm{r}}%
\newcommand*{\var}{\mathbb{V}\mathrm{ar}}%
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}%
\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }%
\newcommand*{\sfv}{s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny}%

\begin{document}
\begin{center}
{\Large \textbf{Villamosm\'ern\"ok A4}\\
11. gyakorlat (2012.~nov.~26-27.)\\
\smallskip
\textbf{Regressziók}}\\
\end{center}

\begin{enumerate}

\item[] Adott egy $X$ valószínűségi változó, mely $c$ érték(ek)re lesz a $h_1(c):=\E|c-X|$ {\bf hiba minimális}? A válasz: az $m(X)$ {\bf mediánra} (amiből lehet több is, diszkrét változó esetén). És mely  $c$ értékre lesz $h_2(c):=\E\big[(c-X)^2\big]$ minimális? A válasz: az $\E X$ {\bf várható értékre}.

\item[] Hasonlóképpen, ha az $X_1,\dots,X_n$ független kísérleteket látjuk egy ismeretlen eloszlású valószínűségi változóra, és ezek alapján akarjuk becsülni a változót, akkor:

\begin{enumerate}
\item az a $c$, amire $h_1(c):=\sum_{i=1}^n |c-X_i|$ a minimális, az a {\bf minta  $m(X_1,\dots,X_n)$ mediánja}, azaz a nagyságra középső érték a kísérletekből (páros $n$ esetén a két középső érték között bármi), és persze nagy $n$ esetén ez egy jó becslés lesz a valószínűségi változó mediánjára; illetve

\item az a $c$, amire $h_2(c):=\sum_{i=1}^n (c-X_i)^2$ a minimális, az a {\bf mintaátlag} $\mu(X_1,\dots,X_n):=(X_1+\dots+X_n)/n$, és ez egy jó becslés lesz a  valószínűségi változó várható értékére.
\end{enumerate}

Ez akkor kezd izgalmassá válni,  amikor egy kétdimenziós $(X,Y)$ valószínűségi változóból látunk független kísérleteket, és ezek alapján meg akarjuk érteni, hogyan függ $Y$ az $X$-től; pontosabban, {\bf $X$ milyen függvényével tudnánk $Y$-t a legjobban becsülni}? A válasz függ attól, hogyan mérjük, milyen jó a becslésünk:

\begin{enumerate}
\item  Akkor lesz a $h_1(f):=\E|f(X)-Y|$ hiba minimális,  ha $\E\Big[ |f(x)-Y| \,\Big|\, X=x\Big]$-et minimalizáljuk minden rögzített $x$-re, azaz $f(x)$ az $Y$ {\bf feltételes mediánja} az $X=x$ feltétel mellett. 

\item Akkor lesz a $h_2(f):=\E\big[(f(X)-Y)^2\big]$ hiba minimális,  ha $\E\Big[ (f(x)-Y)^2 \,\Big|\, X=x\Big]$-et minimalizáljuk, azaz $f(x)$ az $Y$ {\bf feltételes várható értéke} az $X=x$ feltétel mellett. 
\end{enumerate}

Ha csak {\bf lineáris} $f$ függvényeket engedünk meg, akkor a $h_2(f)$ négyzetes hibát az {\bf első regressziós egyenes} minimalizálja: $f(x)=\mu_2+r\,(x-\mu_1)\,\sigma_2/\sigma_1$, ahol $\mu_1$ és  $\sigma_1$ az $X$  várható értéke és szórása, $\mu_2$ és  $\sigma_2$ az $Y$-éi, $r$ pedig $X$ és $Y$ korrelációs együtthatója. A  {\bf második regressziós egyenes} pedig azon $g$ lineáris függvény, mely az $\E\big[(g(Y)-X)^2\big]$ hibát minimalizálja: $g(y)=\mu_1+r\,(y-\mu_2)\,\sigma_1/\sigma_2$. Ezek nem csak azért fontosak, mert a lineáris összefüggéseket fogadja be a legkönnyebben az értelmünk, hanem mert a $\mu_i,\sigma_i,r$ értékeket természetes módon becsülhetjük egy $(X_1,Y_1),\dots,(X_n,Y_n)$ adathalmazból.

Láttuk korábban, hogy {\bf kétdimenziós normális} eloszlásokra a feltételes medián és a feltételes várható érték függvény is megegyezik a regressziós egyenessel.

\medskip

\item Vegyük a $4, 6, 1, 4, 13, 5$ adathalmazt (más néven mintát).
    \begin{enumerate}
        \item Határozzuk meg a $h_1(c)$ hibafüggvényt és a minta mediánjait!
        \item Határozzuk meg a $h_2(c)$ hibafüggvényt és a mintaátlagot!
    \end{enumerate}

\item Egy kétdimenziós  háromelemű mintánk első koordinátái $-1,0,1$, második koordinátái $3,4,5$, valamilyen sorrendben. Világos, hogy $3!=6$-féleképpen lehet összepárosítani a koordinátákat. A koordinátákkénti minta-mediánok, -átlagok, és -szórások persze nem függenek a párosítástól. Mik ezek a  koordinátákkénti értékek? És mi a korrelációs együttható a 6 lehetséges párosításban?

\item Egy tízfős A4 csoportban, az $i$-edik diák első hét röpZH eredményének összegét jelölje $X_i$, első nagyZH-jának eredményét pedig $Y_i$.  Az eredmények: $(21,13)$, $(25,28)$, $(19,23)$, $(30.5,26)$, $(28.5,24)$, $(19,15)$, $(27,21)$, $(23,27)$, $(33,27.5)$, $(16.5,17)$. 
\begin{enumerate}
        \item Határozzuk meg az $X$ és $Y$ minták átlagait, szórásait, mediánjait, és korrelációs együtthatójukat!
        \item Írjuk föl a minta két regressziós egyenesét! Mennyire tűnik jónak az adatok alapján a lineáris közelítés, és mennyire gondoljuk, hogy elvileg lineárisnak kellene lennie az összefüggésnek? 
        \item Kiderül, hogy volt még egy láthatatlan diák is a csoportban, akinek a nagyZH-ja 25 pontos lett. Milyen röpZH összpontszámot tippelünk neki? És ha az derült volna ki, hogy a röpZH összpontszáma 26, akkor milyen nagyZH pontszámot tippelnénk? 
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Kétszer dobtunk egy kockával, a dobások összege 10. Mi az első dobás feltételes várható értéke? És mit tippelünk az első dobásra?
\item Legyen $X$ két dobás összege, $Y$ pedig az első dobás. Határozzuk meg a regressziós egyenest!
\item Tízszer dobtunk egy kockával, a dobások összege 50. Most mi az első dobás feltételes várható értéke? És mit tippelünk az első dobásra? És mi a regressziós egyenes?
\end{enumerate}

\item Legyenek $X_1,\dots,X_k$ független $\mathsf{RAND}()$ számok, minimumuk $X$, maximumuk $Y$. Határozzuk meg az $Y$ feltételes mediánját és várható értékét az $X=x$ feltétel mellett, és az első regressziós egyenest,
\begin{enumerate}
        \item $k=2$-re;
        \item általános $k$-ra.
    \end{enumerate}

\item Legyen az $(X,Y)$ kétdimenziós valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvénye:
    \begin{enumerate}
    \item
    \[
    f(x,y)=\left\{
             \begin{array}{ll}
               2\exp(-(x+2y)), & \hbox{\mbox{ha $0\leq x,y$};} \\
               0, & \hbox{\mbox{egyébként}.}
             \end{array}
           \right.
    \]
    \item
    \[
    f(x,y)=\left\{
             \begin{array}{ll}
               x + y, & \hbox{\mbox{ha $0<x<1;\,0<y<1$};} \\
               0, & \hbox{\mbox{egyébként}.}
             \end{array}
           \right.
    \]
    \item
    \[
    f(x,y)=\left\{
             \begin{array}{ll}
               24xy, & \hbox{\mbox{ha $0\leq x;\,0\leq y$ és $0\leq x+y\leq 1$};}\\
               0, & \hbox{\mbox{egyébként}.}
             \end{array}
           \right.
    \]
    \end{enumerate}
Határozzuk meg az $Y$ feltételes mediánját és várható értékét az $X=x$ feltétel mellett, és az első regressziós egyenest.

\item 
Egy hivatalban minden ügyfél kiszolgálása 10 perc várható értékű exponenciális valószínűségi változót vesz igénybe, egymástól függetlenül. Ha $k$ ügyfelet összesen $x$ idő alatt szolgálnak ki, akkor a legelső ügyfél kiszolgálásának mi a feltételes mediánja és várható értéke, mi a regressziós egyenes?

\item 
\begin{enumerate}
\item Legyen $U$ egy egyenletes véletlen szám a $[0,1]$ intervallumból, $X=U^2$ és $Y=U^3$. Mi $X$ és $Y$ korrelációs együtthatója? Mi az $\E[ Y \,|\, X=x]$ feltételes várható érték és az $\sqrt{\E\big[(Y-\E[Y \,|\, X=x])^2  \,\big|\, X=x\big]}$ feltételes szórás? Határozzuk meg az első regressziós egyenest.
\item Most legyen $U$ egy egyenletes véletlen szám a $[0,2]$ intervallumból, és, mint az előbb, $X=U^2$ és $Y=U^3$. Változott-e a korrelációs együttható?  
\end{enumerate}

\item Magyarországon a felnőtt férfiak testmagassága átlagosan $178$ cm, $9$ cm szórással, míg testsúlyuk $85$ kg, $10$ kg szórással. A korrelációs együttható $0.7$, azaz minél magasabb valaki, annál súlyosabb is.     \begin{enumerate}
     \item Átlagosan mekkora súlyú egy $190$ cm magas férfi? 
     \item Átlagosan milyen magas egy $94.3$ kg-os férfi? 
     \item Hasonlítsuk össze e két eredményt.
 \end{enumerate}
   
\end{enumerate}

\end{document}
