\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika építészmérnököknek}\\
1. gyakorlat (2003.~09.~18.)\\
\textbf{
Elemi függvények ismétlése, sorozatok I.
}}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}


A következo függvénytulajdonságokat ismételtük át:
 \begin{enumerate} 
\item korlátosság, 
\item monotonitás, 
\item szélsoérték. 
 \end{enumerate}
A fent leírt tulajdonságokat vizsgáltuk a következo függvények 
esetében, valamint tisztáztuk az inverz függvény fogalmát:
 \begin{enumerate}
\item konstans ($c\in \mathbb{R}$ rögzített, $f: x\mapsto c$)
\item lineáris ($a\in \mathbb{R}$ rögzített, $f: x\mapsto ax$)
\item hatvány ($n\in \mathbb{Z}$ rögzített, $f: x\mapsto x^n$)
\item gyök ($n\in \mathbb{Z}$ rögzített, $f: x\mapsto x^{1/n}$)
\item exponenciális ($c\in \mathbb{R}^{+}$ rögzített, $f: 
x\mapsto c^x$)
\item logaritmus ($a\in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}$ rögzített, 
$f: x\mapsto \log _a x$)
\item sinus, cosinus, tangens, cotangens és ezek inverzei, az 
arcus-sinus, arcus-cosinus, arcus-tangens, arcus-cotangens 
függvények.
 \end{enumerate}

Az óra második felében egy kicsit belekezdtünk a 
"sorozatok" témakörbe: 
\par Körüljártuk a korlátosság, monotonság kérdése után a 
sorozat határértékének fogalmát, a definíció (emlékeztetoül) így 
hangzik:
\par Az $a_n$ sorozat határértéke a $h\in \mathbb{R}$ szám, vagy 
másképp írva $\lim_{n\to \infty}a_n=h$, ha \[(\forall 
\varepsilon 
>0)\,(\exists n_0\in \mathbb{N})\,n>n_0\Rightarrow 
|a_n-h|<\varepsilon.\]
 
Azaz, szavakkal leírva: az $a_n$ sorozat 
határértéke a $h$ valós szám, ha a sorozat a $h$ 
tetszoleges közelébe eljut, és onnan többet nem lép ki, azaz 
bármilyen kicsi pozitív $\varepsilon$ távolságot is adunk meg, 
ahhoz létezik egy olyan küszöb, $n_0$, hogy az $n_0$-adik elem 
után már mindenki közelebb van $h$-hoz, mint 
$\varepsilon$, azaz minden $n_0$-nál nagyobb $n$-re 
$|a_n-h|<\varepsilon$.    
\par Tisztáztuk még, hogy egy sorozatnak több torlódási pontja 
is lehet, ha azonban konvergens, akkor csak egyetlen torlódási 
pontja van, ami egyben a határértéke is. 
Emlékeztetoül: a torlódási pont olyan szám, hogy a sorozatnak 
létezik hozzá konvergáló részsorozata. 

\par Ezután pedig a következo 
példákat vizsgáltuk:
  \begin{enumerate}
\item $a_n=3n$, azaz $0,3,6,9,12,\ldots$, ez nem korlátos (bár 
alulról igen),
szig.~mon.~no, divergens (végtelenhez tart).
\item $b_n=(-1)^n$, azaz $1,-1,1,-1,1,-1,\ldots$, ez korlátos, 
nem monoton, divergens, és pontosan két torlódási pontja van: 
$1$ és $-1$. 
\item $c_n=(-1)^nn$, ez nem korlátos (sem felülrol, sem 
alulról), nem monoton, divergens, valós torlódási pontja nincs, 
de $\infty$ és $-\infty$ is "torlódási pontja".
\item $h_n=\frac{2n+1}{n+3}=\frac{2+1/n}{1+3/n}$, ez utóbbi 
alakból láthatjuk, hogy számlálója 2-höz, nevezoje 1-hez tart, 
ezért o maga egy az eloadáson vett tétel értelmében 
$\frac21=2$-höz konvergál.
  \end{enumerate}
\par Végül játszottunk egy kicsit szabály-felismerosdit, azaz 
egy pár kezdoszám alapján felírtuk a sorozat általános tagját:
  \begin{enumerate}
\item $1,2,3,4,5,6,\ldots$, ennek $a_n=n+1$ felel meg
\item $0,1,4,9,16,25,\ldots$, ennek $a_n=n^2$
\item $0.9,0.99,0.999,\ldots$, ennek $a_n=1-10^{n+1}$
\item $0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,\ldots$, és hogy ennek mi felel 
meg, azt házi feladat kitalálni.
  \end{enumerate}


\end{document}
