\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika építészmérnököknek}\\
2. gyakorlat (2003.~09.~25.)\\
\textbf{
Sorozatok II.
}}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

\begin{enumerate} 

\item A következo sorozatokról döntsük el: korlátos? monoton? 
konvergens? (Ahol az $n=0$ esetben nem értelmes a képlet, ott a 
sorozatot csak az $n=1$ elemétol kezdve vizsgáljuk.)
  \begin{enumerate}
\item $a_n=2+4n$
\mego Alsó korlátja pl. 2, felülrol nem korlátos. Szigorúan 
monoton no, és $a_n\to \infty$.
\item $b_n=\frac 5n\quad (n\ge 1)$
\mego Felso korlátja pl. 5, alsó korlátja pl. 0, tehát korlátos. 
Szigorúan monoton csökken, és $b_n\to 0$.
\item $c_n=-\frac{3}{n^2}\quad (n\ge 1)$
\mego Alsó korlátja pl. -3, felso korlátja pl. 0, tehát 
korlátos. Szigorúan monoton no, és $c_n\to 0$.
\item $d_n=3^n$
\mego Alsó korlátja pl. 1, felso korlátja nincs. Szigorúan 
monoton no, és $d_n\to \infty$.
\item $e_n=\frac{1}{4^n-1}\quad (n\ge 1)$
\mego Alsó korlátja pl. 0, felso korlátja pl. 1/3, tehát 
korlátos. Szigorúan monoton csökken, és $e_n\to 0$.
\item $f_n=5+\frac{(-1)^n}{n}\quad (n\ge 1)$
\mego Alsó korlátja pl. 4, felso korlátja pl. 5,5, tehát 
korlátos. Nem monoton, és $f_n\to 5$.
  \end{enumerate}

\item A következo sorozatok olyan tört kifejezéssel adottak, 
melyekben a számláló és a nevezo egyaránt polinom. Ilyenkor a
következoképp jártunk el: ha a számláló fokszáma 
nagyobb, akkor $\infty$, ha a nevezoé nagyobb, akkor 0 a 
határérték, míg ha a két fokszám egyenlo, akkor a legnagyobb 
kitevoju taggal mindent elosztva határozzuk meg a határértéket. 
  \begin{enumerate}
\item $a_n=\frac{1}{n+3}$
\mego $a_n\to 0$
\item $a_n=\frac{4n+1}{n+3}$
\mego $a_n\to 4$
\item $a_n=\frac{4n^2+1}{n+3}$
\mego $a_n\to \infty$
\item $a_n=\frac{4n+1}{n^2+3}$
\mego $a_n\to 0$
\item $a_n=\frac{2n+1}{3-n}$
\mego $a_n\to -2$
\item $a_n=\frac{(4n+1)^3}{n+3}$
\mego $a_n\to \infty$
\item $a_n=\frac{\sqrt{4n+1}}{n+3}$
\mego $a_n\to 0$
  \end{enumerate}

\item A következo feladatokban exponenciális kifejezések 
találhatók. Ezekrol azt kell tudni, hogy bármilyen polinomnál 
gyorsabban változnak. 
  \begin{enumerate}
\item $a_n=\frac{4^n+1}{n+3}$
\mego $a_n\to \infty$
\item $a_n=\frac{4n+1}{2^n+3}$
\mego $a_n\to 0$
\item $a_n=3^n$
\mego $a_n\to \infty$
\item $a_n=3^{-n}$
\mego $a_n\to 0$
\item $a_n=3^{1/n}$
\mego $a_n\to 1$
\item $a_n=\frac{2^n+4^n}{3^n+5^n}$
\mego $a_n\to 0$
\item $a_n=\frac{2^n+4^n}{3^n+5n}$
\mego $a_n\to \infty$
\item $a_n=\frac{2^n+400n}{3^n+5^n}$
\mego $a_n\to 0$
\item $a_n=\frac{0.2^n}{0.3^n+5}$
\mego $a_n\to 0$
  \end{enumerate}

\item A következo példákban a "gyöktelenítési trükköt" vetettük 
be. Azaz ha adott egy $\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}$ alakú sorozat, 
ahol $a_n\to \infty$ és $b_n\to \infty$, akkor szorozzunk 
$\frac{\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n}}{\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n}}$-vel, így 
kapjuk $\frac{a_n-b_n}{\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n}}$-t, amirol már el 
tudjuk dönteni, hogy hová tart. 
  \begin{enumerate}
\item $a_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$
\mego $a_n=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}\to 0$
\item $a_n=\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+1}$
\mego $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}}\to 0$
\item $a_n=\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+1}$
\mego $a_n=\frac{2n-1}{\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2+1}}=
\frac{2-\frac 1n}{\sqrt{1+\frac 2n}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}
\to 1$
\item $a_n=n(\sqrt{n^2+1}-n)$
\mego $a_n=\sqrt{n^4+n^2}-n^2=\frac{n^2}{\sqrt{n^4+n^2}+n^2}=
\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}\to \frac 12$
  \end{enumerate}

\item Ezután olyan sorozatokkal foglalkoztunk, amelyek 
az $e$ szám "vonzáskörébe" tartoznak. Onnan lehet felismerni 
oket, hogy $(1+a_n)^{b_n}$ alakra hozhatók, pontosan 
ezt kell velük tenni, és ilyenkor a határérték 
ugyanaz, mint az $e^{a_n\cdot b_n}$ sorozat határértéke, azaz 
a feladat leegyszerusödik $a_n\cdot b_n$ határértékének 
vizsgálatára. Speciális esetként érdemes megjegyezni az 
alap-összefüggést: $(1+\frac xn)^n\to e^x$.
 \begin{enumerate}
\item $c_n=(\frac{n+2}{n})^n$
\mego $c_n=(1+\frac{2}{n})^n\to e^2$
\item $c_n=(\frac{n+2}{n-1})^n$
\mego $c_n=(1+\frac{3}{n-1})^{n-1}(1+\frac{3}{n-1})\to e^3$
\item $c_n=(\frac{n-1}{n+2})^n$
\mego $c_n=(1+\frac{-3}{n+2})^{n+2}(1+\frac{-3}{n+2})^{-2}\to 
e^{-3}$
\item $c_n=(\frac{n+2}{2n-1})^n$
\mego 
$c_n=(1+\frac{-n+3}{2n-1})^n=(1+\frac{3-n}{2n-1})^n$, 
tehát vizsgáljuk a $d_n:=\frac{n(3-n)}{2n-1}$ sorozatot. Ennek 
határértéke: $d_n=\frac{3/n-1}{2/n-1/n^2}\to -\infty$, tehát az 
eredeti sorozat határértéke $c_n\to \lim_{n\to 
\infty}e^{d_n}=e^0=1$
\item $c_n=(\frac{3n+2}{n-1})^n$
\mego $c_n=(1+\frac{2n+3}{n-1})^n$, azaz vizsgáljuk 
$d_n:=\frac{n(2n+3)}{n-1}\to \infty$, tehát $c_n\to \infty$
\item $c_n=(\frac{n^2+2}{n^2-1})^n$
\mego $c_n=(1+\frac{3}{n^2-1})^n$, $d_n:=\frac{3n}{n^2-1}\to 0$, 
ezért $c_n\to e^0=1$
\item $c_n=(\frac{n^2+1}{n^2-1})^{n^2+n+1}$
\mego $c_n=(1+\frac{2}{n^2-1})^{n^2+n+1}$, 
$d_n:=\frac{2n^2+2n+2}{n^2-1}=\frac{2+\frac 
2n+\frac{2}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\to 2$, ezért $c_n\to e^2$
 \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
