\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika építészmérnököknek}\\
3. gyakorlat (2003.~10.~02.)\\
\textbf{
Sorozatok II.
}}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

\begin{enumerate} 

\item Határozzuk meg a következ\H o határértékeket! Ezeknél a 
feladatoknál a következ\H o a módszer: ha $x\to x_0$ 
határeset a kérdés, és az $x=x_0$ 
behelyettesítés nem okozna a nevez\H oben nullát, akkor a 
folytonosság miatt megtehetjük, és a határárték egyenl\H o a 
behelyetteítéssel kapottal. Ha a behelyettesítés nem vihet\H o 
végbe (nevez\H o 0), akkor addig kell alakítgatni a törtet, amíg 
ez a probléma meg nem sz\H unik. Ha $x\to \infty$ a kérdés, 
akkor a sorozatoknál ismertetett módszerrel állapítjuk meg a 
határértéket.
  \begin{enumerate}
\item \[\lim_{x\to 1}\frac{x^3+3}{2x-1}=\frac{4}{1}=4\]
\item \[\lim_{x\to 1}\frac{x^3-2x+3}{2x-1}=\frac{2}{1}=2\]
\item \[\lim_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^3-x}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x(x+1)}=0\]
\item \[\lim_{x\to 1}\frac{x^2+3x-10}{x^2-x-2}=3\]
\item \[\lim_{x\to 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2-x-2}=\lim_{x\to 
2}\frac{(x+5)(x-2)}{(x+1)(x-2)}=\lim_{x\to 2}\frac{x+5}{x+1}=7/3\]
\item \[\lim_{x\to 0}\frac{x^2+3x-10}{x^2-x-2}=5\]
\item \[\lim_{x\to 0}\frac{x^2+3x}{x^2-x}=\lim_{x\to 
0}\frac{x+3}{x-1}=-3\]
\item \[\lim_{x\to 0}\frac{(x+3)^2-9}{x}=\lim_{x\to 
0}\frac{x^2+6x}{x}=\lim_{x\to 0}(x+6)=6\]
\item \[\lim_{x\to \infty}\frac{x^2+3x-10}{x^2-x-2}=\lim_{x\to 
\infty}\frac{1+3/x-10/x^2}{1-1/x-2/x^2}=1\]
\item \[\lim_{x\to \infty}\frac{3x-10}{x^2-x-2}=0\]
  \end{enumerate}

\item A következ\H o, gyökös kifejezést tartalmazó 
határértékeket a gyöktelenítés módszerével határozhatjuk meg, 
azaz $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{c}-\sqrt{d}}$ 
alakot b\H ovítjük 
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{c}+\sqrt{d}}$-vel. 
  \begin{enumerate}
\item \[\lim_{x\to 
0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x}-1}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x^2}{x}\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x^2}}=1\]
\item \[\lim_{x\to 1}\frac{x^2-\sqrt{x}}{x-1}=\lim_{x\to 
1}\frac{x^4-x}{x^2-1}\frac{x+1}{x^2+\sqrt{x}}=3/2\]
  \end{enumerate}

\item A következ\H o trigonometrikus kifejezést tartalmazó 
feladatokhoz azt kell tudni, hogy $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 
x}{x}=1$.
  \begin{enumerate}
\item \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}=\lim_{x\to 0}5\frac{\sin 5x}{5x}=5\] 
\item \[\lim_{x\to \infty}\frac{\sin 5x}{x}=0,\] hiszen a 
számláló korlátos, a nevez\H o pedig $\infty$-hez tart.  
\item \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{\tan 10x}=\lim_{x\to 0}\sin 5x\frac{\cos 10x}{2\sin 5x\cos 5x}=1/2\] 
\item \[\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 x}{x(1+\cos x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\frac{\sin x}{1+\cos x}=0\]
\item \[\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2}\frac{1}{1+\cos x}=1/2\] 
\item \[\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\frac{\frac{1}{\cos x}-1}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\frac{1-\cos x}{x^2\cos x}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3\frac{1}{\cos x(1+\cos x)}=1/2\]
  \end{enumerate}

\item Olyan határértékek következnek, amelyek 
az $e$ szám "vonzáskörébe" tartoznak. Onnan lehet felismerni 
oket, hogy $\lim_{x\to \infty}(1+\mathrm{f}(x))^{\mathrm{g}(x)}$ 
alakra hozhatók, pontosan ezt kell velük tenni, és ilyenkor a 
határérték 
\[e^{\lim_{x\to \infty}\mathrm{f}(x)\cdot \mathrm{g}(x)}.\] 
Speciális esetként érdemes megjegyezni az 
alap-összefüggést: $\lim_{x\to \infty}(1+\frac cx)^x=e^c$.
 \begin{enumerate}
\item \[\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{1+x}\right)^x=\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{-1}{1+x}\right)^x=e^{\lim_{x\to \infty}\frac{-x}{1+x}}=e^{-1}\]
\item \[\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2x+1}{1+x}\right)^x=\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{x}{1+x}\right)^x=e^{\lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{1+x}}=\infty\]
\item \[\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2x}{1+3x}\right)^x=\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{-1-x}{1+3x}\right)^x=e^{\lim_{x\to \infty}\frac{x+x^2}{1+3x}}=0\]
\item \[\lim_{x\to \infty}\left(\frac{3+x}{1+x}\right)^{x+\sqrt{x}}=\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{2}{1+x}\right)^{x+\sqrt{x}}=e^{\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sqrt{x}}{1+x}}=e^1=e\]
 \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
