\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika építészmérnököknek}\\
4. gyakorlat (2003.~10.~09.)\\
\textbf{
Deriválás gyakorlása
}}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Mindegyik feladathoz tudni kell: az elemi, 
trigonometrikus és hiperbolikus függvények deriváltjait, és az 
összetett függvények deriválására vonatkozó alapveto szabályt, 
miszerint $f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$. Ez utóbbira lássunk 
példát:
\newline $(\sin (2x^2))'=\cos (2x^2)\cdot 4x$. 
\newline Külön nem térek ki az összeg deriváltjára, hiszen az 
egyszeruen a deriváltak összege.

\item Hatványfüggvények. $(x^n)'=nx^{n-1}$, ez 
alapján: 
\begin{enumerate}
\item $f(x)=4x^3-x^2+7,\quad f'(x)=12x^2-2x$
\item $f(x)=x^4-2x^2+7x+6,\quad f'(x)=4x^3-4x+7$
\item $f(x)=4x^{\frac12}-3x^{\frac13}+7,
       	\quad f'(x)=2x^{-\frac12}-x^{-\frac23}$
\item 
$f(x)=4x^{\frac32}-3\sqrt{2x}=4x^{\frac32}-3(2x)^{\frac12},
       	\quad f'(x)=6x^{\frac12}-3\frac12(2x)^{-\frac12}2=
	6x^{\frac12}-3(2x)^{-\frac12}$
\item $f(x)=\frac3x-3x^{\frac53}+7\sqrt[3]{x},
	\quad f'(x)=-3x^{-2}-5x^\frac23+\frac73x^{-\frac23}$
\end{enumerate}

\item Szorzat alakúak. $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$, ez 
alapján:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=(2x+5)(3x^7-8x^2),
	\quad f'(x)=2(3x^7-8x^2)+(2x+5)(21x^6-16x)$
\item $f(x)=(5x-7)\sqrt{2x^5},
	\quad f'(x)=5\sqrt{2x^5}+(5x-7)\frac12(2x^5)^{-\frac12}10x^4$
\item $f(x)=(3x^7-8x^2)\sin x,
	\quad f'(x)=(21x^6-16x)\sin x+(3x^7-8x^2)\cos x$
\item $f(x)=(3x^3-8x^2)(\sin x-\cos x),
	\quad f'(x)=(9x^2-16x)(\sin x-\cos x)+(3x^3-8x^2)
	(\cos x+\sin x)$
\end{enumerate}
\item Hányados alakúak. $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=
	\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$, ez alapján:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{x^3-1}{1+2x},
	\quad f'(x)=\frac{3x^2(1+2x)-(x^3-1)2}{(1+2x)^2}$
\item $f(x)=\frac{x^3+4}{x^2+2x},
	\quad f'(x)=\frac{3x^2(x^2+2x)-(x^3+4)(2x+2)}{(x^2+2x)^2}$
\item $f(x)=\frac{x^3+x^2+4}{\cos x},
	\quad f'(x)=\frac{(3x^2+2x)\cos x+(x^3+x^2+4)\sin x}
	{\cos ^2x}$
\item $f(x)=\frac{x^2\tan x}{2+\cos x},
	\quad f'(x)=\frac{(2x\tan x+x^2\frac{1}{\cos ^2x})
	(2+\cos x)+x^2\tan x \sin x}{(2+\cos x)^2}$
\item $f(x)=\frac{4}{(1-x^2)(1-3x^2)},
	\quad f'(x)=4\frac{-\left(-2x(1-3x^2)-(1-x^2)6x\right)}
	{(1-x^2)^2(1-3x^2)^2}$
\item $f(x)=\frac{x^3+3}{(x^2+x+1)\sin x},
	\quad f'(x)=\frac{3x^2(x^2+x+1)\sin x-(x^3+3)
	((2x+1)\sin x+(x^2+x+1)\cos x)}{(x^2+x+1)^2\sin ^2x}$
\item $f(x)=\frac{2x^2-4x}{(1-x^2)\sqrt{x}},
	\quad f'(x)=\frac{(4x-4)(1-x^2)\sqrt{x}-
	(2x^2-4x)(-2x\sqrt{x}+(1-x^2)\frac12x^{-\frac12})}
	{(1-x^2)^2x}$
\item $f(x)=\frac{1-\arcsin x}{1+\arcsin x},
	\quad f'(x)=\frac{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(1+\arcsin 
	x)-(1-\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(1+\arcsin x)^2}=
	-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}(1+\arcsin x)^2}$
\end{enumerate}

\item Logaritmikus differenciálás. Abban az esetben, amikor az 
alap és a kitevo is függ $x$-tol, a következo trükk segítségével 
deriválhatunk: például
\[f(x)=x^x,\] ekkor vesszük mindkét oldal logaritmusát: 
\[\ln f(x)=x\ln x,\] mindkét oldalt deriválva kapjuk, hogy
\[\frac{1}{f(x)}f'(x)=\ln x+x\frac1x=\ln x +1,\] amibol 
$f(x)$-szel szorozva kapjuk a végeredményt: 
\[f'(x)=f(x)(\ln x+1)=x^x(\ln x +1).\] 
Ennek mintájára oldjuk meg a következoket:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=(1+x)^{1-x},\quad \ln f(x)=(1-x)\ln (1+x), 
	\quad \frac{f'(x)}{f(x)}=-\ln (1+x)+(1-x)\frac{1}{1+x},$
	$\quad f'(x)=(1+x)^{1-x}(-\ln (1+x)+\frac{1-x}{1+x}).$
\item $f(x)=(\sin x)^x,\quad \ln f(x)=x\ln \sin x, 
	\quad f'(x)=(\sin x)^x(\ln \sin x+x(\frac{1}
	{\sin x})\cos x)$
\item $f(x)=\sqrt[x]{1+x^2},\quad \ln f(x)=\frac1x\ln (1+x^2),
	\quad f'(x)=\sqrt[x]{1+x^2}(-x^{-2}\ln (1+x^2)+\frac1x
	\frac{1}{1+x^2}2x)$
\item $f(x)=(\sin x)^{\sin x},\quad \ln f(x)=\sin x\ln \sin x, 
	\quad f'(x)=(\sin x)^{\sin x}(\cos x\ln \sin x+
	\sin x \frac{1}{\sin x}\cos x)$
\item $f(x)=(\ln x)^{\lg x},\quad \ln f(x)=\lg x\ln \ln x,
	\quad f'(x)=(\ln x)^{\lg x}(\frac1x \frac{1}{\ln 10}
	\ln \ln x+\lg x\frac{1}{\ln x}\frac1x)$
\end{enumerate}

\item A következo feladatok teljesen vegyesek, az elozoek 
ismeretében már megoldhatók.
\item $f(x)=x^3\ln x,\quad f'(x)=3x^2\ln x+x^2$
\item $f(x)=e^x(3x^2-4x),\quad f'(x)=e^x(3x^2-4x)+e^x(6x-4)$
\item $f(x)=x\sin x\ln x,\quad f'(x)=\sin x\ln x+x(\cos x\ln 
	x+\sin x\frac1x)$
\item $f(x)=2^x\sin x\log_2x,\quad f'(x)=2^x\ln 2\sin 
	x\log_2x+2^x(\cos x\log_2x+\sin x\frac{1}{x}
	\frac{1}{\ln 2})$
\item $f(x)=3^x(3x^7-8x^2+1),\quad f'(x)=3^x\ln 
	3(3x^7-8x^2+1)+3^x(21x^6-16x)$
\item $f(x)=\sin ^3x,\quad f'(x)=3\sin ^2x\cos x$
\item $f(x)=\sin x^3,\quad f'(x)=\cos x^33x^2$
\item $f(x)=\tan (4x^2+1),\quad f'(x)=\frac{1}{\cos^2(4x^2+1)}8x$
\item $f(x)=\sin (x^2+2x+3),\quad f'(x)=\cos (x^2+2x+3)(2x+2)$
\item $f(x)=\sqrt[3]{x-3x^5},
	\quad f'(x)=\frac13(x-3x^5)^{-\frac23}(1-15x^4)$

\end{enumerate}
\end{document}
