\documentclass[a4paper,namelimits,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika építészmérnököknek}\\
5. gyakorlat (2003.~10.~16.)\\
\textbf{
Függvényvizsgálat
}}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

Ha ismeretlen függvény képletével találjuk szembe magunkat, 
és szeretnénk megtudni róla, hogy körülbelül hogy néz ki, 
akkor a differenciálszámítás eszközeit is segítségül hívva a 
következoket tehetjük. Az érthetoség kedvéért egy 
példafüggvényen minden lépést kövessünk végig:
\[f(x):=(x-2)^2(x-3)^2\]
\begin{enumerate} 
\item Eloször megállapítjuk a függvény értelmezési tartományát. 
\newline Ez jelen esetben $\mathbb {R}$.
\item Megvizsgáljuk a függvényértékek elojelét. 
\newline Jelen esetben 
$f(x)$ minden $x$ esetén nemnegatív, azaz a görbe végig az $x$ 
tengely felett halad.
\item Megvizsgáljuk a tengelymetszeteket, azaz a zérushelyeket 
és $f(x_0)$ értékét. 
\newline Jelen esetben két zérushely van, 2 és 
3, hiszen $f(x)$ szorzat alakú, ami pontosan akkor nulla, 
ha valamelyik tényezoje 0. Az $y$ tengelyt pedig $f$ az 
$f(0)=36$ pontban metszi. 
\item Állapítsuk meg a függvény határártékét a végtelenben és a 
mínusz végtelenben, illetve az értelmezési tartomány szélein.
\newline Jelen esetben az ért.~tart.~az egész számegyenes, tehát 
csak két határértéket számolunk: $\lim_{x~to 
\infty}f(x)=\infty$, és $\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty$.
\item Keresünk lokális szélsoértékeket. Ezt a következo tétel 
alapján tesszük: \textit{Ha $f$-nek $x_0$-ban lokális 
szélsoértéke van, akkor $f'(x_0)=0$}. Megvizsgáljuk tehát, hogy 
mi(k) a megoldása(i) az $f'(x)=0$ egyenletnek. Ha találunk ilyen 
$x_0$-at, akkor azt kell utána vizsgálnunk, hogy milyen az 
$f''(x)$ függvény elojele az $x_0$ pontban. 
Ha $f'(x_0)=0$ és $f''(x_0)=0$, akkor $x_0$-ban nincs 
lokális szélsoérték, hanem ld. egy késobbi lépésben. Ha azonban 
$f'(x_0)\ne 0$, akkor ide vonatkozik a következo tétel: 
\textit{Ha $f'(x_0)=0$ és $f''(x_0)>0$, akkor 
$f$-nek $x_0$-ban minimuma van, ha pedig $f'(x_0)=0$ és 
$f''(x_0)<0$, akkor $f$-nek $x_0$-ban maximuma van.} 
\newline Jelen esetben 
\[f'(x)=2(x-2)(x-3)^2+(x-2)^22(x-3)=4(x-2)(x-3)(x-2.5),\]
ami az $x_1=2$, $x_2=2.5$ és $x_3=3$ pontokban 0. Számoljuk a 
második deriváltat:
\[f''(x)=4(x-3)(x-2.5)+4(x-2)((x-2.5)+(x-3))=
=2(6x^2-30x+37),\]
amibe tehát behelyettesítjük $f'(x)$ zérushelyeit. Kapjuk, hogy
$f''(2)=2>0$, itt minimum van, $f''(2.5)=-1<0$, itt maximum van, 
valamint $f''(3)=2>0$, itt minimum van.
\item Monotonitási tartományok keresése. Ehhez csak azt kell 
tudni, hogy \textit{Ahol $f'(x)>0$, ott $f$ növekedo, ahol 
$f'(x)<0$, ott $f$ csökkeno.} 
\newline Jelen esetben $f'(x)$ elojele 2 alatti $x$-ekre 
negatív, 2 és 2.5 között pozitív, 2.5 és 3 között negatív és 
3-nál nagyobb $x$-ekre pozitív, tahát $f$ eloszor csökken, majd 
no, majd megint csökken, végül megint no.
\item Keresünk inflexiós pontokat (olyan pontot, ahol konvex és 
konkáv rész csatlakozik össze). Tétel: \textit{Ha $f$-nek 
$x_0$-ban inflexiós pontja van, akkor ott $f''(x_0)=0$}. Tétel: 
\textit{Ha $f''(x_0)=0$ és $f'''(x_0)\ne 0$, akkor $x_0$-ban 
infelxiós pont van.} 
Azt kell tehát vizsgálni, hogy hol van $f''$-nek zérushelye, 
majd ellenorizni, hogy ott $f'''$ nulla-e.
\newline Jelen esetben az elozo pontban kiszámoltuk az $f''(x)$ 
függvényt, aminek zérushelyei (másodfokú megoldóképletbol) 
2.789 és 2.211, valamint számoljuk ki a harmadik deriváltat:
\[f'''(x)=24x-60),\]
ebbe helyettesítve az elobb kapott két számot, egyik esetben sem 
0-t kapunk, tehát mindkét pontban inflexió van.
\item Konvexitás, konkávitás. Tétel: \textit{Ahol $f''(x)>0$, 
ott $f$ konvex, ahol $f''(x)<0$, ott $f$ konkáv.} Másik jól 
használható tétel: \textit{Ahol $f'(x)$ növekszik, ott $f$ 
konvex, ahol pedig $f'(x)$ csökken, ott $f$ konkáv.} 
\newline Jelen esetben egyszerubb az elsot használni, hiszen 
$f''(x)$-et könnyen fel tudjuk rajzolni, és látjuk, hogy 2.211 
alatt pozitív, azaz itt $f$ konvex, 2.211 és 2.789 között 
negatív, itt $f$ konkáv, és 2.789 felett $f''$ ismét pozitív, 
tehát $f$ konvex. 
\item Mindezen vizsgálódások után ha kedvünk tartja, már 
felrajzolhatjuk $f$ hozzávetoleges képét.\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270,width=7cm]{epitesz1.eps}
\end{center}

\end{enumerate}

A következo függvényeken gyakoroltuk az elobb részletesen 
leírt szabályok alkalmazását.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$
\item $f(x)=x+\frac1x$
\item $f(x)=x^3+\frac{1}{5x}$
\end{enumerate}

A következoket pedig ajánlom gyakorlásra:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{x^2}{1+x}$
\item $f(x)=\frac{x^2-x+9}{x^2+x+9}$
\item $f(x)=x+\sin x$
\item $f(x)=e^{-x^2}$
\item $f(x)=e^x\cos x$
\item $f(x)=\ln \sin x$
\end{enumerate}

A MINTA ZH-ban látható ötödik feladatra térnék még ki.
Feladat: Az $a$ paraméter mely értéke esetén lesz az
\[f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
a(x-1)+3 & \mbox{ha $x<1$}\\
x^3+2x & \mbox{ha $x\ge 1$}
\end{array}
\right.
\]
függvény folytonos az $x_0=1$ helyen? És milyen $a$ esetén 
differenciálható az $x_0=1$ helyen?

\mego $f(x_0)=f(1)=3$. A jobboldali határárték ezzel megegyezik, 
hiszen az 1-nél nagyobb részen egy folytonos függvénnyel 
definiáltuk $f(x)$-et. Ahhoz, hogy folytonos legyen 1-ben, az 
kell, hogy a baloldali határárték is 3 legyen. Balról tartva 
1-hez mindig az elso sorbeli definíció érvényes $f(x)-re$, azaz 
a baloldali határárték $a(1-1)+3=0+3=3$, bármi is volt az $a$ 
paraméter. Azaz $f$ mindig folytonos $x_0$-ban. Nézzük a 
differenciálhatóságot: a jobboldali derivált $x_0$-ban
$3x_0^2+2=5$, a 
baloldali derivált pedig $a$. A függvény akkor differenciálható, 
ha a jobboldali és baloldali deriváltja megegyezik, azaz ha $a=5$.

\end{document}
