\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika 2 építészmérnököknek}\\
4. gyakorlat (2004.~03.~10.~illetve 11.)\\
\textbf{
Differenciálegyenletek II.
}}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

K\"oz\"ons\'eges, m\'asodrend\H u, line\'aris, \'alland\'o egy\"utthat\'os
differenci\'alegyenletekr\H ol lesz sz\'o. A megold\'as menete (\'epp \'ugy,
ahogy a gyakorlaton elhangzott) megtal\'alhat\'o az előadó, Dr Barabás Béla 
honlapján (3. előadás címen), ezért azt általánosságban nem 
részletezem, hanem lássuk a példákat!

\begin{enumerate}



%1

\item FELADAT: $y''-3y'+2y=xe^{-5x}$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: }$\lambda^2-3\lambda+2=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=2,\quad \lambda_2=1$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{2x}+c_2e^{x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }$n=1,\quad\alpha=-5,\quad\beta=0$, teh\'at NINCS REZONANCIA. Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=(ax+b)e^{-5x}\]
\[y'=(-5ax+a-5b)e^{-5x}\]
\[y''=(25ax-10a+25b)e^{-5x}\]
visszahelyettes\'{\i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-3y'+2y=(42ax-13a+42b)e^{-5x}=xe^{-5x},\]
amib\H ol
\[a=\frac{1}{42},b=\frac{13}{1764}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=(\frac{1}{42}x+\frac{13}{1764})e^{-5x}.\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{2x}+c_2e^{x}+(\frac{1}{42}x+\frac{13}{1764})e^{-5x}.\]








%2

\item FELADAT: $y''-4y'+3y=xe^{-5x}$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: }$\lambda^2-4\lambda+3=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=3,\quad \lambda_2=1$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{3x}+c_2e^{x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }$n=1,\quad\alpha=-5,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=(ax+b)e^{-5x}\]
\[y'=(-5ax+a-5b)e^{-5x}\]
\[y''=(25ax-10a+25b)e^{-5x}\]
visszahelyettes\'{\i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-4y'+3y=(48ax-14a+48b)e^{-5x}=xe^{-5x},\]
amib\H ol
\[a=\frac{1}{48},\quad b=\frac{7}{1152}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=(\frac{1}{48}x+\frac{7}{1152})e^{-5x}.\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{3x}+c_2e^{x}+(\frac{1}{48}x+\frac{7}{1152})e^{-5x}.\]







%3

\item FELADAT: $y''-5y'+4y=xe^{x}$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: }$\lambda^2-5\lambda+4=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=4,\quad \lambda_2=1$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{4x}+c_2e^{x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }$n=1,\quad\alpha=1,\quad\beta=0$, 
teh\'at EGYSZERES REZONANCIA van.
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=(ax+b)xe^{x}\]
\[y'=(ax^2+(2a+b)x+b)e^{x}\]
\[y''=(ax^2+(4a+b)x+2a+2b)e^{x}\]
visszahelyettes\'{\i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-5y'+4y=(-6ax+2a-3b)e^{x}=xe^{x},\]
amib\H ol
\[a=-\frac16,\quad b=-\frac19.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=(-\frac16x-\frac19)xe^x.\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{4x}+c_2e^{x}+(-\frac16x-\frac19)xe^x.\]




%4

\item FELADAT: $y''-6y'+5y=e^{x}\sin{x}$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: }$\lambda^2-6\lambda+5=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=5,\quad \lambda_2=1$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{5x}+c_2e^{x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }$n=0,\quad\alpha=1,\quad\beta=1$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ae^{x}\cos{x}+be^x\sin{x}\]
\[y'=(b-a)e^{x}\sin{x}+(a+b)e^x\cos{x}\]
\[y''=-2ae^{x}\sin{x}+2be^x\cos{x}\]
visszahelyettes\'{\i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-6y'+5y=(4a-b)e^{x}\sin{x}+(-4b-a)e^{x}cos{x}=e^x\sin{x},\]
amib\H ol
\[a=\frac{4}{17},\quad b=-\frac{1}{17}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=\frac{4}{17}e^x\cos{x}-\frac{1}{17}e^x\sin{x}.\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{5x}+c_2e^{x}+\frac{4}{17}e^x\cos{x}-\frac{1}{17}e^x\sin{x}.\]



%5

\item FELADAT: $y''-7y'+6y=e^{-x}+x\cos{6x}$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: }$\lambda^2-7\lambda+6=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=6,\quad \lambda_2=1$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{6x}+c_2e^{x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }

\textbf{ELS\H O R\'ESZ:}
$n=0,\quad\alpha=-1,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ae^{-x}\]
\[y'=-ae^{-x}\]
\[y''=ae^{-x}\]
visszahelyettes\'{\i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-7y'+6y=14ae^{-x}=e^{-x},\]
amib\H ol
\[a=\frac{1}{14}.\]
Az els\H o taghoz tartoz\'o inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih,1}=\frac{1}{14}e^{-x}.\]

\textbf{M\'ASODIK R\'ESZ:}
$n=1,\quad\alpha=0,\quad\beta=6$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=(ax+b)\sin{6x}+(cx+d)\cos{6x}\]
\[y'=(-6cx+a-6d)\sin{6x}+(6ax+6b+c)\cos{6x}\]
\[y''=(-36ax-36b-12c)\sin{6x}+(-36cx+12a-36d)\cos{6x}\]
visszahelyettes\'{\i}tve ezeket az egyenletbe egy nagyon bonyolult \'es 
cs\'unya t\"orteket tartalmaz\'o egyenletrendszert kapunk, amit a legelsz\'antabbaknak aj\'anlok csak megold\'asra (\'en feladtam). Az egyenletet az\'ert
le\'{\i}rom:
\[y''-7y'+6y=((-30a+42c)x-7a-30b-12c+42d)\sin{6x}+
((-30c-42a)x+12a-42b-7c-30d)\cos{6x}=x\cos{6x},\]
teh\'at l\'atszik, hogy n\'egy line\'aris egyenlet\"unk van 4 v\'altoz\'ora:
a $-30a+42c$ r\'esz 1, a t\"obbi egy\"utthat\'o nulla. Ezeket megoldva kapjuk 
$a,b,c,d$ \'ert\'ek\'et, \'es \'{\i}gy $y_{ih,2}$-t.

\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{6x}+c_2e^{x}+\frac{1}{14}e^{-x}+y_{ih,2}.\]







%6

\item FELADAT: $y''-8y'+7y=(x+7)\sinh{x}=(\frac12x+\frac72)e^x+
(-\frac12x-\frac72)e^{-x}$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: }$\lambda^2-8\lambda+7=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=7,\quad \lambda_2=1$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{7x}+c_2e^{x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }

\textbf{ELS\H O R\'ESZ:}
$n=1,\quad\alpha=1,\quad\beta=0$, 
teh\'at EGYSZERES REZONANCIA van.
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=x(ax+b)e^{x}\]
\[y'=(ax^2+(2a+b)x+b)e^{x}\]
\[y''=(ax^2+(4a+b)x+2b)e^{x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-8y'+7y=(-12ax-6b)e^{x}=(\frac12x+\frac72)e^{x},\]
amib\H ol
\[a=-\frac{1}{24},\quad b=-\frac{7}{12}.\]
Az els\H o tagb\'ol sz\'amolt inhomog\'en r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih,1}=(-\frac{1}{24}x^2-\frac{7}{12}x)e^x.\]

\textbf{M\'ASODIK R\'ESZ:}
$n=1,\quad\alpha=-1,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=(ax+b)e^{-x}\]
\[y'=(-ax+a-b)e^{-x}\]
\[y''=(ax-2a+b)e^{-x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-8y'+7y=(16ax-10a+16b)e^{-x}=(-\frac12x-\frac72)e^{-x},\]
amib\H ol
\[a=-\frac{1}{32},\quad b=-\frac{61}{256}.\]
A m\'asodik tagb\'ol sz\'amolt inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa
\'{\i}gy
\[y_{ih,2}=(-\frac{1}{32}x-\frac{61}{256})e^{-x}.\]

\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{7x}+c_2e^{x}+(-\frac{1}{24}x^2-\frac{7}{12}x)e^x+
(-\frac{1}{32}x-\frac{61}{256})e^{-x}.\]


%7


\item FELADAT: $y''-4y'+4y=e^{x}+\cos 2x$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: }$\lambda^2-4\lambda+4=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=2,\quad \lambda_2=2$, egy darab kétszeres 
gyök van.
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }

\textbf{ELSŐ RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=2,\quad\beta=0$, 
teh\'at KÉTSZERES REZONANCIA van.
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ax^2e^{2x}\]
\[y'=(2ax^2+2ax)e^{2x}\]
\[y''=(4ax^2+8ax+2a)e^{2x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''+4y'-4y=2ae^{2x}=e^{2x},\]
amib\H ol
\[a=\frac12.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának első része 
teh\'at
\[y_{ih,1}=\frac12x^2e^{2x}.\]

\textbf{MÁSODIK RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=0,\quad\beta=2$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=a\sin 2x+b\cos x\]
\[y'=2a\cos 2x-2b\sin 2x\]
\[y''=-4a\sin 2x-4b\cos 2x\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-4y'+4y=8b\sin 2x-8a\cos 2x=\cos 2x,\]
amib\H ol
\[a=-\frac18,\quad b=0.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának második 
része teh\'at
\[y_{ih,2}=-\frac18\sin 2x.\]

\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}+\frac12x^2e^{2x}-\frac18\sin 2x.\]



%8

\item FELADAT: $y''-5y'+6y=\sinh 3x$

MEGOLD\'AS: 
felhasználva a $\sinh$ függvény definícióját, a jobb oldalt 
alakítsuk át az $\frac12 e^{3x}-\frac12 e^{-3x}$ alakra, így már 
elbánunk vele.
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: 
}$\lambda^2-5\lambda+6=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=3,\quad \lambda_2=2$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{3x}+c_2e^{2x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }

\textbf{ELSŐ RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=3,\quad\beta=0$, 
teh\'at EGYSZERES REZONANCIA van.
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=axe^{3x}\]
\[y'=(3ax+a)e^{3x}\]
\[y''=(9ax+6a)e^{3x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-5y'+6y=ae^{x}=\frac12e^{x},\]
amib\H ol
\[a=\frac12.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának első része 
teh\'at
\[y_{ih,1}=\frac12xe^{3x}\]

\textbf{MÁSODIK RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=-3,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ae^{-3x}\]
\[y'=-3ae^{-3x}\]
\[y''=9ae^{-3x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-5y'+6y=30ae^{-3x}=-\frac12e^{-x},\]
amib\H ol
\[a=-\frac{1}{60}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának második 
része teh\'at
\[y_{ih,2}=-\frac{1}{60}e^{-3x}.\]

\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{3x}+c_2e^{2x}+\frac12xe^{3x}-\frac{1}{60}e^{-3x}.\]




%9

\item FELADAT: $y''-6y'+8y=x\sin 2x$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: 
}$\lambda^2-6\lambda+8=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=4,\quad \lambda_2=2$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{4x}+c_2e^{2x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }
$n=1,\quad\alpha=0,\quad\beta=2$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=(ax+b)\sin 2x+(cx+d)\cos 2x\]
\[y'=(-2cx+a-2d)\sin 2x+(2ax+2b+c)\cos 2x\]
\[y''=(-4ax-4b-4c)\sin 2x+(-4cx+4a-4d)\cos 2x\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-6y'+8y=
((4a+12c)x+4b-6a-4c+12d)\sin 2x+((4c-12a)x+4a+4d-6c-12b)\cos 2x
=x\sin 2x,\]
amib\H ol
\[a=\frac{1}{40},\quad b=-\frac{3}{200},\quad 
c=\frac{3}{40},\quad d=\frac{17}{400}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=(\frac{1}{40}x-\frac{3}{200})\sin 2x+
(\frac{3}{40}x+\frac{17}{400})\cos 2x.\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{4x}+c_2e^{2x}+
(\frac{1}{40}x-\frac{3}{200})\sin 2x+
(\frac{3}{40}x+\frac{17}{400})\cos 2x.\]





%10

\item FELADAT: $y''-6y'+9y=3x^2$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: 
}$\lambda^2-6\lambda+9=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=3,\quad \lambda_2=3$, tehát egy darab 
kétszeres gyök van.
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: 
}$y_h=c_1e^{3x}+c_2xe^{3x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }
$n=2,\quad\alpha=0,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ax^2+bx+c\]
\[y'=2ax+b\]
\[y''=2a\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-6y'+9y=9ax^2+(-12a+9b)x+2a-6b+9c=3x^2,\]
amib\H ol
\[a=\frac13,\quad b=\frac49,\quad c=\frac29.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=\frac13x^2+\frac49x+\frac29.\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=
c_1e^{3x}+c_2xe^{3x}+
\frac13x^2+\frac49x+\frac29.\]




%11

\item FELADAT: $y''-7y'+12y=\sin 3x+\sinh 3x$

MEGOLD\'AS: 
a $\sinh$ függvényt itt is a definíciója alapján átírjuk, így a 
baloldal három tagra bomlik: $\sin 3x+\frac12 e^{3x}-\frac12 
e^{-3x}$.
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: 
}$\lambda^2-7\lambda+12=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=4,\quad \lambda_2=3$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{4x}+c_2e^{3x}$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }

\textbf{ELSŐ RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=0,\quad\beta=3$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=a\sin 3x+b\cos 3x\]
\[y'=3a\cos 3x-3b\sin 3x\]
\[y''=-9a\sin 3x-9b\cos 3x\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-7y'+12y=(3a+21b)\sin 3x+(3b-21a)\cos 3x=\sin 3x,\]
amib\H ol
\[a=\frac{1}{150},\quad b=\frac{7}{150}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának első része 
teh\'at
\[y_{ih,1}=\frac{1}{150}\sin 3x+\frac{7}{150}\cos 3x.\]


\textbf{MÁSODIK RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=3,\quad\beta=0$, 
teh\'at EGYSZERES REZONANCIA van.
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=axe^{3x}\]
\[y'=(3ax+a)e^{3x}\]
\[y''=(9ax+6a)e^{3x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-7y'+12y=11ae^{3x}=\frac12e^{3x},\]
amib\H ol
\[a=\frac{1}{22}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának második 
része teh\'at
\[y_{ih,2}=\frac{1}{22}xe^{3x}\]


\textbf{HARMADIK RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=-3,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ae^{-3x}\]
\[y'=-3ae^{-3x}\]
\[y''=9e^{-3x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-7y'+12y=42ae^{-3x}=-\frac12e^{-3x},\]
amib\H ol
\[a=-\frac{1}{84}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának harmadik 
része teh\'at
\[y_{ih,3}=-\frac{1}{84}e^{-3x}.\]

\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=
c_1e^{4x}+c_2e^{3x}+
\frac{1}{150}\sin 3x+\frac{7}{150}\cos 3x+
\frac{1}{22}xe^{3x}+
-\frac{1}{84}e^{-3x}.\]




%12


\item FELADAT: $y''-4y'=2004+e^{x}$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: }$\lambda^2-4\lambda=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=4,\quad \lambda_2=0$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{4x}+c_2$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }

\textbf{ELSŐ RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=0,\quad\beta=0$, 
teh\'at EGYSZERES REZONANCIA van.
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ax\]
\[y'=a\]
\[y''=0\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-4y'=-4a=2004,\]
amib\H ol
\[a=-501.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának első része 
teh\'at
\[y_{ih,1}=-501x.\]

\textbf{MÁSODIK RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=1,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ae^{x}\]
\[y'=ae^{x}\]
\[y''=ae^{x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-4y'=-3ae^{x}=e^{x},\]
amib\H ol
\[a=-\frac13.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának második 
része teh\'at
\[y_{ih,2}=-\frac13e^x.\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{4x}+c_2-501x-\frac13e^x.\]



%13

\item FELADAT: $y''-2y'+5y=x^2$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: 
}$\lambda^2-2\lambda+5=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=1+2i,\quad \lambda_2=1-2i$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: 
}$y_h=c_1e^{x}\sin 2x+c_2e^{x}\cos 2x$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }
$n=2,\quad\alpha=0,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ax^2+bx+c\]
\[y'=2ax+b\]
\[y''=2a\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-2y'+5y=5ax^2+(5b-4a)x+2a-2b+5c=x^2,\]
amib\H ol
\[a=\frac15,\quad b=\frac{4}{25},\quad c=-\frac{2}{125}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=\frac15x^2+\frac{4}{25}x-\frac{2}{125}\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{x}\sin 2x+c_2e^{x}\cos 2x+
\frac15x^2+\frac{4}{25}x-\frac{2}{125}
.\]


%14

\item FELADAT: $y''-2y'+10y=xe^{x}$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: 
}$\lambda^2-2\lambda+10=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=1+3i,\quad \lambda_2=1-3i$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: 
}$y_h=c_1e^{x}\sin 3x+c_2e^{x}\cos 3x$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }
$n=1,\quad\alpha=1,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=(ax+b)e^{x}\]
\[y'=(ax+a+b)e^{x}\]
\[y''=(ax+2a+b)e^{x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-2y'+10y=(9ax+9b)e^{x}=xe^{x},\]
amib\H ol
\[a=\frac19,\quad b=0.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=\frac19xe^x\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=
c_1e^{x}\sin 3x+c_2e^{x}\cos 3x+
\frac19xe^x.\]


%15

\item FELADAT: $y''-8y'+17y=e^{4x}\sin x$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: 
}$\lambda^2-8\lambda+17=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=4+i,\quad \lambda_2=4-i$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1e^{4x}\sin x+c_2e^{4x}\cos x$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }
$n=0,\quad\alpha=4,\quad\beta=1$, 
teh\'at EGYSZERES REZONANCIA van.
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=axe^{4x}\sin x+bxe^{4x}\cos x\]
\[y'=((4a-b)x+a)e^{4x}\sin x+((4b+a)x+b)e^{4x}\cos x\]
\[y''=((15a-8b)x+8a-2b)e^{4x}\sin x+((8a+15b)x+2a+8b)e^{4x}\cos x\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-8y'+17y=-2be^{4x}\sin x+2ae^{4x}\cos x=e^{4x}\sin x,\]
amib\H ol
\[a=0,\quad b=-\frac12.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=-\frac12xe^{4x}\cos x.\]

\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=
c_1e^{4x}\sin x+c_2e^{4x}\cos x-\frac12xe^{4x}\cos x.\]



%16

\item FELADAT: $y''-8y'+20y=e^{2x}\sin 4x$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: 
}$\lambda^2-8\lambda+20=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=4+2i,\quad \lambda_2=4-2i$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: 
}$y_h=c_1e^{4x}\cos 2x+c_2e^{4x}\sin 2x$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }
$n=0,\quad\alpha=2,\quad\beta=4$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ae^{2x}\cos 4x+be^{2x}\sin 4x\]
\[y'=(2a+4b)e^{2x}\cos 4x+(-4a+2b)e^{2x}\sin 4x\]
\[y''=(-12a+16b)e^{2x}\cos 4x+(-16a-12b)e^{2x}\sin 4x\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-8y'+20y=
(-8a-16b)e^{2x}\cos 4x+(16a-8b)e^{2x}\sin 4x\]
amib\H ol
\[a=\frac{1}{20},\quad b=-\frac{1}{40}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=\frac{1}{20}e^{2x}\cos 4x-\frac{1}{40}e^{2x}\sin 4x.\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=
c_1e^{4x}\cos 2x+c_2e^{4x}\sin 2x+
\frac{1}{20}e^{2x}\cos 4x-\frac{1}{40}e^{2x}\sin 4x.\]


%17

\item FELADAT: 
$y''-8y'+25y=\cosh4x=\frac12e^{4x}+\frac12e^{4x},$ ahol a 
jobboldalt a $\cosh$ függvény definíciója alapján bontottuk 
nekünk megfelelő függvények összegére.

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: 
}$\lambda^2-8\lambda+25=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=4+3i,\quad \lambda_2=4-3i$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: 
}$y_h=c_1e^{4x}\cos 3x+c_2e^{4x}\sin 3x$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }

\textbf{ELSŐ RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=4,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ae^{4x}\]
\[y'=4ae^{4x}\]
\[y''=16ae^{4x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-8y'+25y=9ae^{4x}=\frac12e^{4x},\]
amib\H ol
\[a=\frac{1}{18}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának első része 
teh\'at
\[y_{ih,1}=\frac{1}{18}e^{4x}.\]

\textbf{MÁSODIK RÉSZ: }
$n=0,\quad\alpha=-4,\quad\beta=0$, 
teh\'at NINCS REZONANCIA. 
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ae^{-4x}\]
\[y'=-4ae^{-4x}\]
\[y''=16e^{-4x}\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''-8y'+25y=73ae^{-4x}=\frac12e^{-4x},\]
amib\H ol
\[a=\frac{1}{146}.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asának második 
része teh\'at
\[y_{ih,2}=\frac{1}{146}e^{-4x}.\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1e^{4x}\cos 3x+c_2e^{4x}\sin 3x+\frac{1}{18}e^{4x}+
\frac{1}{146}e^{-4x}.\]



%18

\item FELADAT: $y''+9y=\cos 3x$

MEGOLD\'AS: 
\par \textit{Karakterisztikus egyenlet: }$\lambda^2+9=0$, 
ebb\H ol $\lambda_1=3i,\quad \lambda_2=-3i$
\par \textit{Homog\'en \'altal\'anos: }$y_h=c_1\cos 3x+c_2\sin 3x$
\par \textit{Inhomog\'en partikul\'aris: }
$n=0,\quad\alpha=0,\quad\beta=3$, 
teh\'at EGYSZERES REZONANCIA van.
Ebb\H ol a pr\'obaf\"uggv\'eny: 
\[y=ax\sin 3x+bx\cos 3x\]
\[y'=(-3bx+a)\sin 3x+(3ax+b)\cos 3x\]
\[y''=(-9ax-6b)\sin 3x+(-9bx+6a)\cos 3x\]
visszahelyettes\'{i}tve ezeket az egyenletbe kapjuk, hogy:
\[y''+9y=-6b\sin 3x+6a\cos 3x=\cos 3x,\]
amib\H ol
\[a=\frac16,\quad b=0.\]
Az inhomog\'en partikul\'aris r\'esz megold\'asa teh\'at
\[y_{ih}=\frac16x\sin 3x.\]
\par \textit{Inhomog\'en \'altal\'anos megold\'as: }
\[y=c_1\cos 3x+c_2\sin 3x+\frac16x\sin 3x.\]





\end{enumerate}

\end{document}

