\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika 2 építészmérnököknek}\\
5. gyakorlat (2004.~03.~31.~illetve \'aprilis 1.)\\
\textbf{
T\"obbv\'altoz\'os f\"uggv\'enyek I.
}}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}

\textbf{Els\H orend\H u parci\'alis deriv\'altak:}


Hat\'arozzuk meg az al\'abbi f\"uggv\'enyek els\H orend\H u parci\'alis deriv\'altjait: 

Tipp: nem kell m\'ast tenni, mint hogy $x$ szerinti deriv\'al\'askor 
konstansnak tekintj\"uk $y$-t, \'es $x$-et tekintj\"uk v\'altoz\'onak, $y$ 
szerinti deriv\'al\'askor pedig \'epp ford\'{\i}tva: $y$ a v\'altoz\'o \'es 
$x$ a konstans.

\begin{enumerate}

%1
\item $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ 

\mego $f'_x(x,y)=3x^2-3y$

$f'_y(x,y)=3y^2-3x$


%2
\item $f(x,y)=x^y$ 

\mego $f'_x(x,y)=yx^{y-1}$

$f'_y(x,y)=x^y\ln x$


%3
\item $f(x,y)=\arcsin \frac yx$ 

\mego $f'_x(x,y)=\frac{-y}{x^2\sqrt{1-\left(\frac yx\right)^2}}$

$f'_y(x,y)=\frac{1}{x\sqrt{1-\left(\frac yx\right)^2}}$


%4
\item $f(x,y)=y^2\ln \sqrt{xy}$ 

\mego $f'_x(x,y)=\frac{y^3}{2xy}$

$f'_y(x,y)=2y\ln \sqrt{xy}+\frac{xy^2}{2xy}$



%5
\item $f(x,y)=\frac{x^3e^y}{1+\sin x+y^2}$ 

\mego $f'_x(x,y)=\frac{3x^2e^y(1+\sin x+y^2)-x^3e^y\cos x}{(1+\sin x+y^2)^2}$

$f'_y(x,y)=\frac{x^3e^y(1+\sin x+y^2)-x^3e^y2y}{(1+\sin x+y^2)^2}$


%6 HIANY

\end{enumerate}

\textbf{M\'asodrend\H u parci\'alis deriv\'altak:}

Hat\'arozzuk meg az al\'abbi f\"uggv\'enyek m\'asodrend\H u parci\'alis deriv\'altjait,
ellen\H orizve, hogy val\'oban $f''_{xy}(x,y)=f''_{yx}(x,y)$: 

Tipp: ehhez azt kell csak tudni, hogy p\'eld\'aul $f''_{xy}$ azt jelenti, hogy 
a f\"uggv\'enyt el\H osz\"or $x$ szerint deriv\'aljuk, majd amit \'{\i}gy 
kaptunk, azt $y$ szerint deriv\'aljuk. Hasonl\'oan $f''_{xx}$ azt jelenti, 
hogy mind a k\'etszer $x$ szerint deriv\'alunk.


\begin{enumerate}

%7
\item $f(x,y)=\ln(x+e^y)$ 

\mego Ehhez kellenek az els\H orend\H uek el\H oszor:

$f'_x(x,y)=\frac{1}{x+e^y}$

$f'_y(x,y)=\frac{e^y}{x+e^y}$

Ezekb\H ol a m\'asodrend\H uek:
$f''_{xx}(x,y)=-\frac{1}{(x+e^y)^2}$

$f''_{xy}(x,y)=-\frac{e^y}{(x+e^y)^2}$

$f''_{yx}(x,y)=-\frac{e^y}{(x+e^y)^2}$

$f''_{yy}(x,y)=\frac{e^y(x+e^y)+e^{2y}}{(x+e^y)^2}$



%8
\item $f(x,y)=x^y$ 

\mego Az els\H orend\H ueket m\'ar egyszer kisz\'amoltuk feljebb:

$f'_x(x,y)=yx^{y-1}$

$f'_y(x,y)=x^y\ln x$

Ezekb\H ol a m\'asodrend\H uek:
$f''_{xx}(x,y)=y(y-1)x^{y-2}$

$f''_{xy}(x,y)=x^{y-1}+yx^{y-1}\ln x$

$f''_{yx}(x,y)=x^{y-1}+yx^{y-1}\ln x$

$f''_{yy}(x,y)=x^y\ln ^2x$



%9 HIANY

\end{enumerate}


\textbf{Ir\'anymenti deriv\'altak:}

Az $f(x,y)$ f\"uggv\'eny $(x_0,y_0)$ pontbeli, $\underline{v}=(\cos \alpha,
\sin \alpha)$ ir\'any menti deriv\'altj\'at a k\"ovetkez\H o k\'eplet adja meg:
$f'_{\alpha}(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0)\cos \alpha+f'_y(x_0,y_0)\sin \alpha$

\begin{enumerate}

%10
\item Hat\'arozza meg az $f(x,y)=(x-y)^2$ f\"uggv\'eny $\alpha=\frac{Pi}{3}$ 
ir\'any\'u ir\'anymenti deriv\'altj\'at a $P(2,3)$ pontban!

\mego $\cos \alpha=\frac12,\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2},$
$f'_x(x,y)=2(x-y),f'_y(x,y)=-2(x-y),$ ebb\H ol 
$f'_{\frac{Pi}{3}}(2,3)=\sqrt{3}-1.$


%11
\item Hat\'arozza meg, mely ir\'any eset\'en nulla az $f(x,y)=x^3+y^3-3xy+e^y$
f\"uggv\'eny $P(2,0)$ pontbeli ir\'anymenti deriv\'altja!

\mego $f'_x(x,y)=3x^2-3y\quad f'_y(x,y)=3y^2-3x+e^y\quad 
f'_{\alpha}(x,y)=(3x^2-3y)\cos \alpha +(3y^2-3x+e^y)\sin \alpha$
$f'_{\alpha}(2,0)=12\cos \alpha -5\sin \alpha=0$, ebb?l $\alpha =\arctan \frac{12}{5}.$

\end{enumerate}
\textbf{\'Erint\H os\'{\i}k egyenlete:}

Az érint?sík képlete $f'_x(x-x_0)+f'_y(y-y_0)-(z-f(x_0,y_0))=0$, amit úgy kell érteni, 
hogy mindig adott egy ($x_0,y_0$) pont, és az $f'_x$ illetve $f'_y$ parciális deriváltakat 
abban a pontban kell nézni (ld.~a feladatokban).

\begin{enumerate}
%16
\item Írja fel az $f(x,y)=2x^2+y^2-2xy+4x-2y+5$ görbe $P(1,2)$ pontbeli érint?síkjának 
egyenletét!

\mego $f'_x(x,y)=4x-2y+4\quad f'_x(1,2)=4$ és $f'_y(x,y)=2y-2x-2\quad f'_y(1,2)=0$, valamint
$f(1,2)=7$, ezekb?l tehát az érint?sík egyenlete $4(x-1)-(z-7)=0.$

%17
\item Írja fel az $f(x,y)=(x^2-6x)(y^2-4y)$ görbe $P(1,2)$ pontbeli érint?síkjának 
egyenletét!

\mego $f'_x(x,y)=(2x-6)(y^2-4y)\quad f'_x(1,2)=16$ és $f'_y(x,y)=(x^2-6x)(2y-4)
\quad f'_y(1,2)=0$, valamint
$f(1,2)=20$, ezekb?l tehát az érint?sík egyenlete $16(x-1)-(z-20)=0.$

\end{enumerate}

\end{document}

