\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\fela}{\textit{Feladat}: }
\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand*{\pr}{\mathbb{P}}
\newcommand*{\val}{val\'osz\'{\i}n\H us\'eg}
\newcommand*{\kul}{k\"ul\"onb\"oz\H o} 
\newcommand*{\eml}{\textit{Eml\'ekeztet\H o: }}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika 2 építészmérnököknek}\\
9. gyakorlat (2004.~05.~05.~illetve 06.)\\
\textbf{
Valószínűségszámítás I.
}}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}


\textbf{Műveletek eseményekkel}

\eml Az esem\'enyekre halmazokk\'ent gondolunk, k\'et esem\'enynek az \"osszeg\'er\H ol \'es szorzat\'ar\'ol is besz\'elhet\"unk: $A+B$ jelenti azt az esem\'enyt, hogy az $A$ \'es $B$ esem\'enyek k\"oz\"ul legal\'abb az egyik bek\"ovetkezett (UNI\'O), $AB$ pedig hogy mindkett\H o bek\"ovetkezett (METSZET).


\begin{enumerate}

%Esem 1

\item \fela Jelölje $A_i$ azt az eseményt, hogy a kockadobás 
eredménye $i$. Legyen $B$ az az esemény, hogy a dobás eredménye 
páros szám, $C$ pedig az, hogy a dobás eredménye négynél kisebb.
\begin{enumerate}
\item Fejezzük ki $B$-t illetve $C$-t az $A_i$ események 
segítségével!

\mego $B=A_2+A_4+A_6$

$C=A_1+A_2+A_3$
\item Mit jelentenek a következő kifejezések: $\overline{B}$, 
$\overline{C}$, $A_2B$, $A_5C$, $BC$, $\overline{B}+C$, 
$B+C+A_5$ ?

\mego 
$\overline{B}$: páratlant dobtam,
 
$\overline{C}$: háromnál nagyobbat dobtam, 

$A_2B$: 2-est dobtam, 

$A_5C$: lehetetlen esemény,

$BC$: 2-est dobtam, 

$\overline{B}+C$: 1-et vagy 2-t vagy 3-at vagy 5-öt dobtam, 

$B+C+A_5$: biztos esemény.

\end{enumerate}




%Esem 2

\item \fela Feldobunk három különböző pénzérmét, pl. 1Ft-os, 
2Ft-os és 5Ft-os érmét. Jelöljék a következő betűk a következő 
eseményeket: 
$A$: az 1Ft-os érmén fejet dobunk.
$B$: az 2Ft-os érmén fejet dobunk.
$C$: az 5Ft-os érmén fejet dobunk.
Fejezzük ki $A,\,B$ és $C$ segítségével a következő eseményeket:

\begin{enumerate}
\item Csak az 1Ft-ossal dobunk fejet

\mego 
$A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}$
\item Pontosan egy fejet dobunk

\mego 
$A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot B\overline{C}+
\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot C$
\item Legalább egy fejet dobunk

\mego 
$\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}}$
\item Legfeljebb egy fejet dobunk

\mego 
$\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+
A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+
\overline{A}\cdot B\overline{C}+
\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot C$

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\textbf{Kombinatorika}

\eml $n!$ azt jelenti, hogy $n$-t\H ol lefel\'e \"osszeszorozzunk a pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amokat. $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, kiolvasva ``$n$ alatt a $k$'', ennyif\'elek\'epp v\'alaszthatunk ki $n$ \kul \ dolog k\"oz\"ul $k$-t, ha a sorrend nem sz\'am\'{\i}t.

\begin{enumerate}

%Komb 1

\item Az olimpiai d\"ont\H obe 8 fut\'o ker\"ult be.
\begin{enumerate}
\item H\'anyf\'ele befut\'asi sorrend lehet?

\mego 8!
\item H\'anyf\'ele sorrend lehet a dobog\'on?

\mego $\frac{8!}{5!}$
\end{enumerate}


%Komb 2

\item H\'any h\'aromjegy\H u sz\'am van? H\'any olyan h\'aromjegy\H u sz\'am 
van, aminek a jegyei mind k\"ul\"onb\"oz\H oek? 

\mego $9\cdot 10\cdot 10$ db h\'aromjegy\H u sz\'am van, ezek k\"oz\"ul
$9\cdot 9\cdot 8$ olyan, aminek a jegyei k\"ul\"onb\"oz\H oek.

%Komb 3
\item H\'any NEPTUN-k\'odot lehet gener\'alni?

\mego 26 bet\H u \'es 10 sz\'amjegy van \"osszesen, ezek b\'armelyike 
ker\"ulhet 
a NEPTUN-k\'od 6 hely\'ere. Ennek megfelel\H oen $36^6$-f\'ele NEPTUN-k\'od 
lehets\'eges.


%Komb 4
\item Egy 20-tag\'u csoportb\'ol h\'any k\"ul\"onb\"oz\H o h\'aromtag\'u 
eln\'oks\'eget lehet v\'alasztani? (H\'arom tiszts\'eg van az eln\"oks\'egen 
bel\"ul.)

\mego $\frac{20!}{17!}$

%Komb 5
\item Bridge k\'arty\'ab\'ol kivesz\"unk k\'et \'aszt. H\'anyf\'ele lehet ez?

\mego \"Osszesen 4 db \'asz van a pakliban, ezek k\"oz\"ul 
$\binom{4}{2}=6$-f\'elek\'epp lehet kett\H ot kiv\'alasztani (a sorrend 
nyilv\'an nem sz\'am\'{\i}t).



%Komb 6
\item Az 52 lapos Bridge k\'arty\'ab\'ol 13-at osztanak nekem. H\'anyf\'ele 
lehet ez?

\mego $\binom{52}{13}$

%Komb 7
\item H\'anyf\'elek\'epp lehet sorbarakni a M\H UEGYETEM sz\'o bet\H uit?

\mego 9 bet\H u van, ezek k\"oz\"ul 2 db egyforma (M) illetve 3 db egyforma (E)
tal\'alhat\'o. A l\'etrehozhat\'o ``szavak'' sz\'ama $\frac{9!}{2!3!}$.

%Komb 8
\item Egy bolha ugr\'al a sz\'amegyenesen. Egy ugr\'as egy egys\'eg. 
H\'anyf\'elek\'epp juthat el a 0-b\'ol 12 ugr\'assal a +6 pontba?

\mego Ahhoz, hogy 12 ugr\'as ut\'an a kiindul\'asi pontj\'at\'ol 6 hellyel 
jobbra tal\'alja mag\'at, 9-szer kell jobbra, \'es 3-szor balra ugrania. Azt 
viszont tetsz\H olegesen v\'alaszthatja meg, hogy a 12 ugr\'as k\"oz\"ul melyik
3 alkalommal ugrik balra. A megold\'as teh\'at $\binom{12}{3}$.
 


%Komb 9
\item Feldobunk 5 k\"ul\"onb\"oz\H o p\'enzdarabot. H\'anyf\'ele 
dob\'aseredm\'eny l\'athat\'o?

\mego Minden p\'enz\'erm\'en k\'etf\'ele eredm\'eny lehet. A megold\'as ennek 
megfelel\H oen $2^5$. (Olyan ez, mint a NEPTUN-k\'odn\'al.)

\end{enumerate}

\textbf{Kombinatorikus val\'osz\'{\i}n\H us\'egek}

\eml A j\'o esetek sz\'amat elosztva az \"osszes eset sz\'amaval megkapjuk a 
k\'erdezett esem\'eny \val \'et (ha siker\"ult azonos \'val \H u elemi esem\'enyeket azonos\'{\i}tanunk).

\begin{enumerate}

%KombVsz 1
\item Dobjunk fel k\'et kock\'at. Mi a \val e, hogy 
\begin{enumerate}
\item a dobott sz\'amok \"osszege 8?

\mego 5 esetben lehet a dobott sz\'amok \"osszege 8 
(2+6,3+5,4+4,5+3,6+2), \"osszesen pedig 36-f\'el\'et dobhatunk k\'et 
kock\'aval. A megold\'as teh\'at $\frac{5}{36}$.

\item a dobott sz\'amok egyform\'ak?

\mego $\frac{6}{36}=\frac16$

\item a dobott sz\'amok \kul ek?

\mego A legegyszer\H ubb az, ha r\'aj\"ov\"unk, hogy ez az esem\'eny \'es az 
el\H oz\H o egym\'ast kiz\'ar\'ok, \'es kettej\"uk k\"oz\"ul az egyik biztosan 
bek\"ovetkezik (szebben: ez a k\'et esem\'eny teljes esem\'enyrendszert alkot). Teh\'at a k\'et \val \ \"osszege 1. Az eredm\'eny teh\'at $\frac56$.

\item mindkett\H o p\'aros?

\mego 9-f\'elek\'epp lehet mindkett\H o p\'aros (hiszen 3-f\'ele p\'aros sz\'am
j\"ohet ki, 2 helyre, azaz $3^2$). A \val $\frac{9}{36}=\frac14$.

\end{enumerate}


%KombVsz 2
\item Dobjunk fel 6 kock\'at. Mi a \val e, hogy mind a 6 sz\'am kij\"on?

\mego $\frac{6!}{6^6}$.

%KombVsz 3
\item Egy kock\'at $n$-szer feldobunk. Mi a \val e, hogy $n$-edikre lesz
el\H osz\"or hatos?

\mego \"Osszesen $6^n$-f\'ele eredm\'eny lehet, ha egy kock\'at $n$-szer
feldobunk. Ezek k\"oz\"ul $5^{n-1}$-f\'ele olyan van, ahol az $n$-edik az els\H o hatos. (Hiszen az azt megel\H oz\H o $n-1$ helyre mindegyikre 5-f\'ele sz\'am ker\"ulhet.) Teh\'at a \val $\frac{5^{n-1}}{6^n}$.


%KombVsz 4
\item Egy kock\'at 3-szor feldobunk. Mi a \val e, hogy
\begin{enumerate}
\item egyszer sem lesz hatos?

\mego $\frac{5^3}{6^3}$

\item pontosan egyszer lesz hatos?

\mego $3\cdot \frac{5^2}{6^3}$

\item pontosan k\'etszer lesz hatos?

\mego ugyanaz, mint az el\H oz\H o, mert a 2 db hatost ugyan\'ugy 
3-f\'elek\'epp helyezhetem el a 3 helre, mint az 1 db hatost.

\item h\'aromszor lesz hatos?

\mego $\frac{1}{6^3}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{Felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H us\'eg, f\"uggetlens\'eg}

\eml Az $A$ esem\'eny felt\'eteles \val e a $B$ esem\'eny fenn\'all\'asa 
mellett: \[\pr(A|B)=\frac{\pr (AB)}{\pr (B)}.\] 
$A$ \'es $B$ f\"uggetlenek, ha $\pr (A|B)=\pr(A)$. F\"uggetlen esem\'enyekre 
teh\'at $\pr (AB)=\pr (A)\pr (B)$.

Teljes esem\'enyrendszer egy 
$\{A_i\}$ halmazrendszer, ha a benne szerepl\H o halmazok diszjunktak, 
uni\'ojuk pedig a biztos esem\'eny. Teljes \val \ t\'etele: ha $\{A_i\}$ teljes
esem\'enyrendszert alkot, akkor \[\pr (B)=\sum_{i=1}^n \pr (B|A_i)\pr (A_i).\] 
Bayes-t\'etel: ha $\{A_i\}$ teljes esem\'enyrendszert alkot, akkor 
\[\pr (A_k|B)=\frac{\pr (B|A_k)\pr (A_k)}{\sum_{i=1}^n \pr (B|A_i)\pr (A_i)}.\]

\begin{enumerate}

%Felt 1
\item Valaki k\'et kock\'aval dobott. Mi a \val e, hogy pontosan az egyik hatos, felt\'eve, hogy a dob\'asok \kul ek?

\mego Legyen $E$ az az esem\'eny, hogy az pontosan az egyik hatos, $K$ pedig hogy a k\'et dob\'as \kul .
\[\pr (EH|K)=\frac{\pr (EH \cdot K)}{\pr (K)}=\frac{\frac{10}{36}}{\frac 56}=\frac13.\]

%Felt 2
\item H\'arom kock\'aval dobtak. Mi a \val e, hogy az egyik hatos (EH), felt\'eve, hogy a dob\'asok \kul ek $K$?

\mego
\[\pr (EH|K)=\frac{\pr (EH \cdot K)}{\pr K}=\frac{3\frac{5\cdot 4}{6^3}}{\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6^3}}=\frac12.\]

%Felt 3 m\'odos\'{\i}tva
\item Egy felm\'er\'esb\H ol tudjuk, hogy a fi\'uk 15\%-\'anak a kedvenc sz\'{\i}ne a k\'ek. Ugyanez az ar\'any l\'anyok eset\'eben 10\%. Egy csoportban van 6 fi\'u \'es 12 l\'any, v\'eletlenszer\H uen kiv\'alasztunk egy embert (mindenkinek azonos es\'elye van arra, hogy kiv\'alassz\'ak), mi a \val e, hogy a kedvenc sz\'{\i}ne a k\'ek?

\mego Legyen $K$ hogy a kiv\'alasztott di\'ak kedvenc sz\'{\i}ne a k\'ek, $F$ hogy \H o fi\'u, $L$ hogy \H o l\'any. Ekkor $F$ \'es $L$ teljes esem\'enyrendszert alkot, \'{\i}gy felhaszn\'alhatjuk a teljes \val \ t\'etel\'et, ez alapj\'an
\[\pr (K)=\pr (K|F)\pr (F)+\pr (K|L)\pr (L)\]
A felm\'er\'es azt mutatja, hogy $\pr (K|F)=0,15$ \'es $\pr (K|L)=0,1$, valamint az oszt\'aly \"osszet\'etel\'eb\H ol tudjuk, hogy $\pr (F)=\frac{6}{20}=0,4$ illetve $\pr (L)=0,6$. Ezeket behelyettes\'{\i}tve a fenti k\'epletbe
\[\pr (K)=0,15\cdot 0,4+0,1\cdot 0,6=0,12.\]

%Felt 3 tov\'abb Bayes fel\'e
\item N\'ezz\"uk az el\H oz\H o szitu\'aci\'ot egy m\'asik k\'erd\'essel: tegy\"uk fel, hogy el\'arulj\'ak nekem, hogy a kiv\'alasztott di\'ak kedvenc sz\'{\i}ne a k\'ek. Mennyi ennek ismeret\'eben annak a \val e, hogy az illet\H o l\'any?

\mego Itt alkalmazzuk a Bayes-t\'etelt,majd a kapott formul\'aba behelyettes\'{\i}tj\"uk az el\H obb meg\'allap\'{\i}tott \'ert\'ekeket:
\[\pr (L|K)=\frac{\pr (K|L)\pr (L)}{\pr (K|F)\pr (F)+\pr (K|L)\pr (L)}=
\frac{0,1\cdot 0,6}{0,15\cdot 0,4+0,1\cdot 0,6=0,12}=\frac12.\]


\end{enumerate}
\end{document}

