\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%\usepackage{fullpage}
\setlength{\hoffset}{-3 cm}
\setlength{\voffset}{-4 cm}
\addtolength{\textwidth}{5 cm}
\addtolength{\textheight}{8 cm}

\newcommand*{\fela}{\textit{Feladat}: }
\newcommand*{\mego}{\textit{Megold\'as}: }
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand*{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand*{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand*{\pr}{\mathbb{P}}
\newcommand*{\val}{val\'osz\'{\i}n\H us\'eg}
\newcommand*{\kul}{k\"ul\"onb\"oz\H o} 
\newcommand*{\eml}{\textit{Eml\'ekeztet\H o: }}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Matematika 2 építészmérnököknek}\\
10. gyakorlat (2004.~05.~12.~illetve 13.)\\
\textbf{
Valószínűségszámítás II.
}}\\ 
(gyak. vez.: Rudas Anna)
\end{center}


\textbf{Diszkr\'et eloszl\'as\'u \val i v\'altoz\'ok}

\eml Egy diszkr\'et eloszl\'as\'u \val i v\'altoz\'ot ($\xi$) azzal jellemz\"unk, hogy megadjuk az \'altala felvehet\H o \'ert\'ekeket ($x_i$),
\'es minden ilyen \'ert\'ekhez hozz\'arendelj\"uk azt a \val et ($p_i$), amennyi \val gel felveszi azt az \'ert\'eket. (Ld. az
al\'abbi p\'eld\'akban.) A \val i v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke 
\[\E (\xi)=\sum_{i=1}^nx_ip_i,\]
ahol az \"osszegz\'es teh\'at az \"osszes
lehets\'eges \'ert\'ekre t\"ort\'enik, azokat adjuk \"ossze, megs\'ulyozva a \val \"ukkel. A sz\'or\'asn\'egyzetet a k\"ovetkez\H o
k\'eplettel sz\'amoljuk: 
\[\D ^2(\xi)=\E(\xi ^2)-\left(\E(\xi)\right)^2=\sum_{i=1}^nx_i^2p_i-\left(\sum_{i=1}^nx_ip_i\right)^2.\]
A sz\'or\'as pedig a sz\'or\'asn\'egyzet n\'egyzetgy\"oke: $\D(\xi)=\sqrt{\D ^2(\xi)}$.

\begin{enumerate}

%Diszkr 1

\item K\'et kock\'aval dobunk. Jelentse $\xi$ a nagyobbik sz\'amot. (Ha a k\'et sz\'am egyenl\H o, akkor azt.) Hat\'arozzuk meg a $\xi$
\val i v\'altoz\'o eloszl\'asat, sz\'amoljuk ki a v\'arhat\'o \'ert\'eket!

\mego Az eloszl\'ast egy t\'abl\'azatban adjuk meg:

\begin{tabular}{l|cccccc}
lehets\'eges \'ert\'ekek: &1&2&3&4&5&6\\
\val ek: &$\frac{1}{36}$&$\frac{3}{36}$&$\frac{5}{36}$&$\frac{7}{36}$&$\frac{9}{36}$&$\frac{11}{36}$
\end{tabular}

\textit{Egy kis magyar\'azat: pl.~h\'arom akkor lesz $\xi$ \'ert\'eke, ha (1;3),(3;1),(2;3),(3;2), vagy (3;3) a k\'et kock\'an az eredm\'eny, ez 5 eset
az \"osszesen lehets\'eges 36 k\"oz\"ul. Ez\'ert a 3-as sz\'am alatt az $\frac{5}{36}$ \val \ \'all.}

A v\'arhat\'o \'ert\'ek: 
\[\E(\xi)=1\cdot \frac{1}{36}+2\cdot \frac{3}{36}+3\cdot \frac{5}{36}+4\cdot \frac{7}{36}+5\cdot \frac{9}{36}+6\cdot \frac{11}{36}=4,47.\]

%Diszkr 2

\item Egy fi\'u p\'enzt dob\'al addig, am\'{\i}g fejet nem kap, de t\"urelmetlen\"ul abbahagyja, ha 5 dob\'asb\'ol sem siker\"ult fejet
dobnia. Mi a dob\'assorozat hossz\'anak eloszl\'asa? V\'arhat\'o \'ert\'eke? Sz\'or\'asa?

\mego A dob\'assorozat hossza legyen $\xi$, ennek eloszl\'as\'at megint t\'abl\'azatban adjuk meg:

\begin{tabular}{l|ccccc}
lehets\'eges \'ert\'ekek: &1&2&3&4&5\\
\val ek: &$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{4}$&$\frac{1}{8}$&$\frac{1}{16}$&$\frac{1}{16}$
\end{tabular}

\textit{Egy kis magyar\'azat: pl. negyszer pontosan akkor dob a kisfi\'u, ha az els\H o h\'arom dob\'as \'{\i}r\'as, a negyedik pedig fej. Ennek
\val e $\frac{1}{16}$.}

A v\'arhat\'o \'ert\'ek: 
\[\E(\xi)=1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}+3\cdot \frac{1}{8}+4\cdot \frac{1}{16}+5\cdot \frac{1}{16}=1,94.\]
A sz\'or\'ashoz el\H obb ki kell sz\'amolni a sz\'or\'asn\'egyzetet:
\[\D ^2(\xi)=1\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4}+9\cdot \frac{1}{8}+16\cdot \frac{1}{16}+25\cdot \frac{1}{16}-1,94^2=5,1875-3,7636=1,4239\]
ebb\H ol a sz\'or\'as gy\"okvon\'assal
\[\D (\xi)=\sqrt{1,4239}=1,19.\]

\end{enumerate}



\textbf{Folytonos eloszl\'as\'u \val i v\'altoz\'ok}

\eml 

\begin{enumerate}
\item 1
\end{enumerate}

\end{document}

