4. Vizsgazárthelyi

1996/97 tél II. Villamosmérnök 13.-18.tk.

1. Számítsuk ki az $r = r(u,v) = (u \cos 2v, u \sin 2v, u) \,, \, u \in [0,2] \, v \in [0, \pi ]$ egyenletu felület felszínét!

MO. ${\displaystyle r(u,v) = (u \cos 2v, u \sin 2v, u) \,, 0 \leq u \leq 2 \,,\, 0... ...cos 2v, \sin 2v, 1), r_v = (-2u \sin 2v, 2u \cos 2v, 0) \, \, \leadsto \, \, }$

${\displaystyle \leadsto \, \, r_u \times r_v = (-2u \cos 2v, -2u \sin 2v, 2u) ... ...int_0^\pi \int_0^2 u \; du \, dv = 2 \sqrt{2} \pi \cdot 2 = 4 \pi \sqrt{2} .}$

2. Számítsuk ki ${\rm div \, grad} \vert r \vert^2$ értékét, mint r függvényét minden $r \in {\bf R}^5$-re ha $r \neq 0$!

MO. ${\displaystyle {\rm grad} \vert r \vert^2 = 2 \vert r \vert \cdot {\rm grad} \... ...} \vert r \vert^2 = {\rm div} \, 2 r = 2 {\rm div} \, r = 2 \cdot 5 = 10 \,. }$

3. Legyen N az [xy]-síkbeli a $(0,0)\,,\,(0,3)\,,\,(3,3)\,,\,(3,0)$ csúcspontú négyzetvonal és v(x,y) = (2x + 2y², 2y + 2x²) kétdimenziós vektorfüggvény. Számítsuk ki v felületmenti integrálját N-en, mint egy kétdimenzióbeli valódi felületen!

MO. Mivel ${\rm div} \, v = 2 + 2 = 4 \,$ , így T-re alkalmazva a Gauss-Osztrogradszkij tételt (V a T határú négyzetlap): ${\displaystyle \int_T v \; df = \int_V 4 \; df = 4 \int_V \; df = 4 \cdot \vert V \vert = 4 \cdot 9 = 36 \, }$.

4. Legyen G az origóközéppontú gömbfelület a háromdimenziós térben. ${\displaystyle \int_G r \vert r \vert \; df = \, \,}$ ?

MO. Legyen $v(r) = r \vert r \vert \,$, n a gömb normálisa, v_n pedig v-nek n-re eso vetülete. Ekkor

${\displaystyle \int_G v \; df = \int_G v_n \; \vert df \vert = \int_G \vert r ... ...R^2 \int_G \vert \; df = R^2 \vert G \vert = R^2 \cdot 4R^2 \pi = 4R^4 \pi \, }$.

5. Hol létezik hatérértéke az ${\displaystyle f(z) = \frac{z}{z + \overline{z}} }$ komplex függvénynek?

MO. Az y tengely kivételével mindenütt, mert folytonosok hányadosa. Az y tengelyen nem, mert ${\displaystyle f(z) = \frac{z}{z + \overline{z}} = \frac{x + j y }{2x} = \frac{1}{2} + j \frac{y}{x} }$ és nyilván ${\displaystyle \frac{y}{x} }$-nek nincs határértéke ha $x \longrightarrow \, 0$ még az origóban sem (valóban itt is pl. az y = x mentén 1-hez, míg y = 2x mentén 2-höz tart).

6. Számítsuk ki a $\cos j + j \sin j$ értékét !

MO. ${\displaystyle T \,\, \cos j + j \sin j = \frac{e^{jj} + e^{-jj}}{2} + j \,\frac{e^{jj} - e^{-jj}}{2j} = e^{-1} } \,.$

7. Legyen K(w) az egységnyi sugarú w középpontú kör a komplex síkon és ${\displaystyle f(w) = \int_{K(w)} \frac{e^{2z}}{(z-w)^2} \; dz \,.}$ Számítsuk ki az f'(1) értékét (ha létezik) !

MO. A deriváltakra vonatkozó Cauchy-féle integrálformulával n = 1-re: ${\displaystyle \frac{1!}{2 \pi j} \int_{K(w)} \frac{ e^{2z}}{(z-w)^2} \; dz = (e^{2w})' = 2e^{2w} \, \, \leadsto \, \, }$

${\displaystyle \leadsto \, \, f(w) = \int_{K(w)} \frac{ e^{3z}}{(z-w)^2} \; dz... ...sto \, \, f'(w) = 8 \pi j e^{2w} \, \, \leadsto \, \, f'(2) = 8 \pi j e^2 \,.}$

8. Legyen K az egységnyi sugar, origóközéppontú kör. Mennyi az ${\displaystyle \int_K z^2 {\rm sh}\, \frac{1}{z} \; dz }$ integrál értéke?

MO. ${\rm sh}\, z$ Taylor-sora: ${\displaystyle {\rm sh}\, z = z + \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{5!} + \ldots \,, ... ... z^2 {\rm sh}\, \frac{1}{z} = z + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{z} + \ldots \,, }$ tehát a függvény residuuma a nullában $1/6 \,,$ vagyis az integrál értéke: $2 \pi j /6 = \pi j / 3 \,.$