1996/97 tél II. Villamosmérnök 13.-18.tk.
1. Határozzuk meg az kétdimenzióbeli valódi felület P = (2,4) pontbeli érintosíkjának egyenletét!
MO.
(Valóban, az érintosík az y = x2-nek az x=2-beli érintoje,vagyis (mivel y'(2) = 4) az egyenes.)
2. Adjunk meg egy olyan u = u(r) skalárfüggvényt a síkban, hogy legyen minden síkbeli esetén!
MO.
3. Legyen K a síkbeli kifele irányított origóközéppontú körvonal. Számítsuk ki a síkvektorfüggvény felületmenti integrálját K-n, mint egy kétdimenzióbeli valódi felületen!
MO. K normálisa minden pontjában r irányú, így meroleges -re, tehát v-nek a normálisra eso vetülete ezért
Valóban: miatt Gauss-Osztrogradszkij tétellel (V a körlap):
4. Legyen L az egyenletu háromdimenzióbeli görbe.
MO. de L egyenes szakasz, így | L | L két végpontjának távolsága, tehát
Valóban
5. Hol deriválható az f(x+jy) = x komplex függvény?
MO. Sehol, mert az egyik Cauchy-Riemann d.e. nem áll fenn, hiszen tehát
6. Határozzuk meg azt a tartományt, melybe a körlapot az komplex függvény képezi!
MO.
7. Legyen K egységnyi sugarú, origóközéppontú kör. Mennyi az integrál értéke?
MO. ez Taylor-sora:
8. Adjunk meg egy olyan z = 0 körüli Laurent-sort, mely eloállítja az az függvényt a z = 2-ben!
MO. z-vel végigosztva: és ez konvergens ha