5. Vizsgazárthelyi

1996/97 tél II. Villamosmérnök 13.-18.tk.

1. Határozzuk meg az $r = r(t) = (t, t^2) \,,\, t \in [0,3]$ kétdimenzióbeli valódi felület P = (2,4) pontbeli érintosíkjának egyenletét!

MO. ${\displaystyle \dot{r}(t) = (1, 2t) \,\, \leadsto \, \, \dot{r}(2) = (1, 4) \... ...{\rm CROSS}\,\dot{r}(2) = (-4,1) \,\, \leadsto \, \, -4(x-2) + (y-4) = 0 \,.}$

(Valóban, az érintosík az y = x²-nek az x=2-beli érintoje,vagyis (mivel y'(2) = 4) az $y - 4 = 4(x-2) \,$ egyenes.)

2. Adjunk meg egy olyan u = u(r) skalárfüggvényt a síkban, hogy ${\rm grad}\,u = r \vert r \vert$ legyen minden síkbeli $r \neq 0$ esetén!

MO. ${\displaystyle \int_0^1 rt \vert rt \vert \cdot r \; dt = \vert r \vert^3 \int_0^1 t^2 \; dt = \frac{ \vert r \vert^3 }{3} \,.}$

3. Legyen K a síkbeli kifele irányított origóközéppontú körvonal. Számítsuk ki a $v(r) = {\rm CROSS}(r)$ síkvektorfüggvény felületmenti integrálját K-n, mint egy kétdimenzióbeli valódi felületen!

MO. K normálisa minden pontjában r irányú, így meroleges $v(r) = {\rm CROSS}(r)$-re, tehát v-nek a normálisra eso vetülete $v_n = 0\,,$ ezért ${\displaystyle \int_K v \; df = \int_K v_n \; \vert df \vert = 0 \,.}$

Valóban: ${\rm div\,CROSS}(r) = {\rm rot}\,r = 0$ miatt Gauss-Osztrogradszkij tétellel (V a körlap):

${\displaystyle \int_K v \; df = \int_K {\rm CROSS}(r) \; df = \int_V {\rm div\,CROSS}(r) \; dV = 0 \,.}$ 4. Legyen L az $r(t) = (1 + t, 1 - t, 2 + t) \,,\, t \in [-1,1]$ egyenletu háromdimenzióbeli görbe. ${\displaystyle \int_L \; \vert dr \vert = \,? \,}$

MO. ${\displaystyle \int_L \; \vert dr \vert = \vert L \vert \,, }$ de L egyenes szakasz, így | L | L két végpontjának távolsága, tehát

$\vert L \vert = d(r(-1), r(1)) = d((0,2,1), (2,0,3)) = \sqrt{12} \,.$

Valóban ${\displaystyle \int_L \; \vert dr \vert = \ \int_{-1}^1 \vert \dot{r}(t) \vert... ...) \vert \; dt = \int_{-1}^1 \vert \sqrt{3} \vert \; dt = 2 \cdot \sqrt{3} } \,.$

5. Hol deriválható az f(x+jy) = x komplex függvény?

MO. Sehol, mert az egyik Cauchy-Riemann d.e. nem áll fenn, hiszen $u(x,y) = x\,,\, v(x,y) = 0 \,,$ tehát $u_x = 1 \neq 0 = v_y \,.\,$

6. Határozzuk meg azt a tartományt, melybe a $T = \{z \in {\bf C} : \vert z \vert \leq 1 \}$ körlapot az ${\displaystyle f(z) = \frac{z}{z+1} }$ komplex függvény képezi!

MO. ${\displaystyle z : z+1 = 1 - \frac{1}{z+1} \,\, \leadsto \,\, \frac{z}{z+1} = 1 - \frac{1}{z+1} \,.}$

${\displaystyle T \,\, \stackrel{+1}{\leadsto} \,\, \{z \in {\bf C} : \vert z ... ...\stackrel{ +1 }{\leadsto} \,\, \{z \in {\bf C} : {\rm Re} \, z \leq +1/2 \} }$

7. Legyen K egységnyi sugarú, origóközéppontú kör. Mennyi az ${\displaystyle \int_K z^2 e^{\frac{1}{z}} \; dz }$ integrál értéke?

MO. e^z Taylor-sora: ${\displaystyle e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3!} + \ldots \,\, \le... ...t \frac{1}{z^2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{z^3} + \ldots \,\, \leadsto \,\,}$

${\displaystyle \,\, \leadsto \,\, z^2 e^{\frac{1}{z}} = z^2 + z + \frac{1}{2}... ...t_K z^2 e^{\frac{1}{z}} \; dz = 2 \pi j \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi j}{3} }$

8. Adjunk meg egy olyan z = 0 körüli Laurent-sort, mely eloállítja az az ${\displaystyle f(z) = \frac{z}{z-1} }$ függvényt a z = 2-ben!

MO. z-vel végigosztva: ${\displaystyle f(z) = \frac{z}{z-1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^n} \,}$ és ez konvergens ha ${\displaystyle \rule[-0.2cm]{0.15mm}{5mm} \frac{1}{z} \rule[-0.2cm]{0.15mm}{5mm} < 1 \,.}$