1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal

1998/99 tél II. évf. 13.-18.tk.

1. Legyen v(r) = (x,y²) egy kétdimenziós vektortér és F az a háromszögvonal, melynek csúcsai az origó, a (0,1) és az (1,0) pontok. Számítsuk ki v fluxusát F-en mint egy kifelé irányított kétdimenzióbeli valódi felületen, kétféleleképpen:

a) a fluxus definíciója alapján közvetklenül v-nek F-en való felületmenti integrálásával

b) a Gauss-Osztrogradszkij tétel alapján.

MO. a) A tengelyek mentén a fluxus nulla, mert a vízszintes tengely pontjaiban csak vízszintes, a függoleges tengely pontjaiban pedig csak függoleges komponense van a függvénynek, így itt a felületi normális és a függvény egymásra merolegesek. Ami az F átfogót illeti, egy egyenlete (melynek esetén a térrészbol kifele van irányítva: $r(t) = (t, (1-t)), \, \, t \in [0,1]$. Így

$${\rm CROSS} (\dot{r}(t)) = - \left \vert \begin{array}{cc}... ...nd{array} \!\right \vert \, \, = (1,1) \mbox{ \ (persze!) \ }$$

tehát a) a fluxus ${\displaystyle \int_F v \, df = \int_0^1 v(r(t)) \cdot {\rm CROSS} (\dot{r}(t)) \, dt = \int_0^1 (t, (1-t)^2) \cdot (1,1) \, dt = \int_0^1 1-t + t^2 \, dt = }$

${\displaystyle = \left. t- \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \, \right\vert _0^1 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\,. }$ b) ${\displaystyle \mbox{div\,}v = \frac{\partial v_1}{\partial x} + \frac{\partial v_2}{\partial y} = 1 +2y}$, így Gauss-Osztogradszkij tétellel a fluxus (a háromszöglapot V-vel jelölve): ${\displaystyle \int_F v \, df = \int_V \mbox{div\,}v \, dV = \int_V 1+2y \, dV }$ ${\displaystyle = \int_0^1 \int_0^{1-x} 1+2y \, dy\,dx = }$

${\displaystyle =\int_0^1 y + y^2\,{\,\rule[-2mm]{0.12mm}{5mm}\,}_0^{1-x}\,dx = }$ ${\displaystyle \int_0^1 (1-x) + (1-x)^2 dx = \left. \int_0^1 2 -3x+x^2 \, dx =... ...frac{x^3}{3}\, \right\vert _0^1 = 2 - \frac{3}{2} +\frac{1}{3} = \frac{5}{6} }$.

2. Számítsuk ki a CROSS $\left(\rule[-1mm]{0mm}{4mm} r \, \mbox{div\,}(r\vert r\vert)\right) \, \, (r \in {\mathbb R^2} )$ értékét a P = (3,4) pontban!

MO. $\mbox{div\,}(r\vert r\vert) = \vert r\vert\mbox{div\,}r + r \cdot \mbox{grad\,}\vert r\vert = 2\vert r\vert + r \cdot \frac{r}{\vert r\vert} = 3\vert r\vert\,.$ (VAGY koordinátánként: ${\displaystyle r\vert r\vert = (x \sqrt{x^2+y^2}, y \sqrt{x^2+y^2}),}$

${\displaystyle \mbox{div\,}(r\vert r\vert) = \frac{\partial}{\partial x} x \sqrt{x^2+y^2} + \frac{\partial}{\partial y} y \sqrt{x^2+y^2} = }$ ${\displaystyle \sqrt{x^2+y^2} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} + \sqrt{x^2+y^2} + \frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = 3 \sqrt{x^2+y^2})=3\vert r\vert)}$,

így $r \,\mbox{div\,}(r\vert r\vert) = 3r\vert r\vert$, tehát CROSS $(r \, \mbox{div\,}(r\vert r\vert)) = \mbox{div\,}(r\vert r\vert)\,\mbox{CROSS\,}(r) = 3\vert r\vert\,\mbox{CROSS\,} (r)$, vagyis $\,\mbox{CROSS\,}(r \, \mbox{div\,}(r\vert r\vert)) \,\rule[-2mm]{0.1mm}{5mm}_{\,P}$ $= 3\vert r\vert(-y,x)\,\rule[-2mm]{0.1mm}{5mm}_{\,P} = 15(-4,3) = (-60,45).$

3. Határozzuk meg a v(x,y) = (x²+y², 2xy) vektorfüggvény potenciáját, ahol az létezik!

MO.

$${\rm rot\,}v = \left\vert \begin{array}{cc} \frac{\partial... ... & 2xy \\ \end{array} \!\right\vert \, \, = 2y-2y = 0 \,\,,$$

tehát mindenütt van potenciál. $u_x = x^2+y^2, \, u_y = 2xy\,,$ tehát $u = xy^2 + c(x)\,,$ azaz $x^2+y^2 = u_x = y^2 + c'\,$, vagyis $c' = x^2\,$, így ${\displaystyle c = \frac{x^3}{3}\,,}$ amibol ${\displaystyle u = xy^2 + \frac{x^3}{3}\,.}$
4. Legyen ${\displaystyle f(z) = \frac{\overline{z}^2}{z}}$ ha $z \neq 0$ és $f(0) = 0\,.$ Hol folytonos az f függvény?

MO. Mindenütt, mert $z \neq 0$ esetén folytonos függvényekbol származik folytonosságot megorzo módon és

$${\displaystyle \left\vert\frac{\overline{z}^2}{z}\right\vert ... ...ert} = \vert z\vert \xrightarrow[z \longrightarrow 0]{} 0\,.}$$

5. K egységnyi sugarú, origó középpontú kör. Mekkora az ${\displaystyle \int_K \frac{e^{3z}}{z^3}\,dz}$ integrál ?

MO. Cauchy integrálformulával ${\displaystyle \int_K \frac{e^{3z}}{z^3}\,dz = \frac{2 \pi j}{2\,!}\left. (e^{3z})'' \right\vert _{z=0} = 9 \pi j}$.

6. Határozza meg a ${\displaystyle f(z) = \frac{1}{z}}$ függvény azon z = -1 pont körüli Laurent sorát, mely a z = 1 pontban eloállítja a függvényt!

MO. ${\displaystyle f(z) = \frac{1}{z} = \frac{1}{(z+1)-1} = \frac{1}{z+1} \cdot \f... ...} \sum_{n=0}^ \infty \frac{1}{(z+1)^n} = \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{(z+1)^n}}$