2. Vizsgazárthelyi megoldásokkal

1998/99 tél II. évf. 13.-18.tk.

1. Legyen v(r) = (y,x²) egy kétdimenziós vektortér és L az a háromszögvonal, melynek csúcsai az origó, a (0,1) és az (1,0) pontok. Számítsuk ki v cirkulációját L-en mint egy pozitívan irányított kétdimenzióbeli görbén, kétféleleképpen:

a) a cirkuláció definíciója alapján közvetklenül v-nek L-en való görbementi integrálásával

b) a Stokes tétel alapján.

MO. a) A tengelyek mentén a cirkuláció nulla, mert a vízszintes tengely pontjaiban csak függoleges, a függoleges tengely pontjaiban pedig csak vízszintes komponense van a függvénynek, így itt az érinto és a függvény egymásra merolegesek. Ami az L átfogót illeti, egy egyenlete, melynek esetén, mint a térrész határa pozitívan van irányítva: $r(t) = \big((1-t), t\big), \, \, t \in [0,1]$. Igy a cirkuláció: ${\displaystyle \int_L v \, dr = \int_0^1 v(r(t)) \cdot \dot{r}(t) \, dt = }$

${\displaystyle =\int_0^1 \left(t, (1-t)^2\right) \cdot (-1,1) \, dt = \int_0^1... ... (1-t)^2 \, dt = \left. - \frac{t^2}{2} - \frac{(1-t)^3}{3} \right\vert _0^1 }$ ${\displaystyle = - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}. }$

b) ${\displaystyle {\rm rot\,} v = \left \vert \begin{array}{cc} \frac{\partial... ...tial }{\partial y} \\ y & x^2 \\ \end{array} \!\right \vert \, \, = 2x-1 }$, így Stokes tétellel a cirkuláció (a háromszöglapot V-vel jelölve): ${\displaystyle \int_L v \, dr = }$

${\displaystyle = \int_V \mbox{rot\,}v \, dV = \int_V 2x-1 \, dV = \int_0^1 \in... ...-2mm]{0mm}{5mm}\,}\right\vert _0^{1-x}\,dx = \int_0^1 2x(1-x) - (1-x)\, dx = }$

${\displaystyle = \int_0^1 3x -2x^2 - 1\, dx = \left. 3 \frac{x^2}{2} -2 \frac{x^3}{3} -x \right\vert _0^1 = \frac{3}{2}- \frac{2}{3} -1 = -\frac{1}{6} }$.

2. Számítsuk ki a CROSS $\big(r [1+ \mbox{rot\,}(r\vert r\vert)]\big) \, \, (r \in {\mathbb R}^2 )$ értékét a P = (3,4) pontban!

MO. ${\displaystyle \mbox{rot\,}(r\vert r\vert) = \vert r\vert\mbox{rot\,}r - \mbox... ...rad\,}\vert r\vert = 0 + \mbox{CROSS\,}(r) \cdot \frac{r}{\vert r\vert} = 0\,}$, hiszen CROSS( $r) \, \bot \, r$.

(VAGY koordinátánként: ${\displaystyle r\vert r\vert = (x \sqrt{x^2+y^2}, y \sqrt{x^2+y^2}), \mbox{ro... ...partial x} y \sqrt{x^2+y^2} - \frac{\partial}{\partial y} x \sqrt{x^2+y^2} = }$

${\displaystyle = \frac{yx}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0)}$, így $\mbox{rot\,}(r\vert r\vert) = 0$, tehát CROSS $\big(r [1+\mbox{rot\,}(r\vert r\vert)]\big)\vert _P = \mbox{CROSS\,}(r)\vert _P =$

${\displaystyle = (-y,x)\vert _P = (-4,3)\,.}$

3. Határozzuk meg a $v(r) = r\vert r\vert, \, \, r \in {\mathbb R}^4$ vektorfüggvény potenciáját, ahol az létezik!

MO. rotv = 0 (az elozo példában már láttuk), tehát mindenütt van potenciál. Így ${\displaystyle u(r) = \int_0^1 v(rt) \cdot r\, dt = }$

${\displaystyle = \int_0^1 rt\vert rt\vert \cdot r d\,t = \int_0^1 t\vert rt\ve... ...ft. \vert r\vert^3 \frac{t^3}{3}\right\vert _0^1 = \frac{\vert r\vert^3}{3}\,.}$

4. Legyen ${\displaystyle f(z) = \frac{z^2}{\overline{z}}}$ ha $z \neq 0$ és $f(0) = 0\,.$ Hol folytonos az f függvény?

MO. Mindenütt, mert $z \neq 0$ esetén folytonos függvényekbol származik folytonosságot megorzo módon és

${\displaystyle \left\vert\frac{{z}^2}{\overline{z}}\right\vert = \frac{\vert z... ...ert^2}{\vert z\vert} = \vert z\vert \xrightarrow[z \longrightarrow 0]{} 0\,.}$

5. K egységnyi sugarú, origó középpontú kör. Mekkora az ${\displaystyle \int_K \frac{(\sin z^n)^n}{z^{n^2}}\,dz}$ integrál?

MO. ${\displaystyle \int_K \frac{(\sin z^n)^n}{z^{n^2}}\,dz = 0 }$, mert ${\displaystyle \lim_{z \longrightarrow 0} \frac{(\sin z^n)^n}{z^{n^2}} = \lim_{z \longrightarrow 0} {\left(\frac{\sin z^n}{z^n}\right)}^n = 1 }\,$, így a szakadás megszüntetheto.

6. Határozza meg a ${\displaystyle f(z) = \frac{1}{z}}$ függvény azon z = 1 pont körüli Laurent sorát mely a z = -1 pontban eloállítja a függvényt!

MO. ${\displaystyle f(z) = \frac{1}{z} = \frac{1}{(z-1)+1} = \frac{1}{z-1} \cdot \f... ...nfty (-1)^n \frac{1}{(z-1)^n} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{(z-1)^{n+1}}}$