next up previous
Next: About this document ...

3. Vizsgazárthelyi megoldásokkal

1998/99 tél II. évf. 13.-18.tk.


1. Legyen $ v(x,y) = (x-y,x+y)$ egy kétdimenziós vektortér és $ L$ az a háromszögvonal, melynek csúcsai az origó, a (0,1) és az (1,0) pontok. Számítsuk ki $ v$ fluxusát $ F$-en mint egy kifelé irányított kétdimenzióbeli valódi felületen és $ v$ cirkulációját $ L$-en mint egy pozitívan irányított kétdimenzióbeli görbén!

MO. a) $ {\displaystyle \mbox{div\,}v =
\frac{\partial v_1}{\partial x} + \frac{\partial v_2}{\partial y} =
1+1=2}$, így Gauss-Osztogradszkij tétellel a fluxus (a háromszöglapot $ V$-vel jelölve): $ {\displaystyle \int_F v \, df = \int_V \mbox{div\,}v \, dV =
\int_V 2 \, dV = 2 \int_V \, dV = 2 \vert V\vert = 1.}$ b) $ {\displaystyle {\rm rot} v =
\left \vert \begin{array}{cc}
\frac{\partial }{...
...artial }{\partial y} \\
x-y & x+y \\
\end{array} \!\right \vert \, \,
= 2}$, így Stokes tétellel a cirkuláció (a háromszöglapot $ V$-vel jelölve): $ {\displaystyle \int_L v \, dr = \int_V \mbox{rot\,}v \, dV =
\int_V 2 \, dV = 2 \int_V \, dV = 1.}$



2. Számítsuk ki a rot $ (r$   div $ (r\vert r\vert))\, \, (r \in {\mathbb{R}}^2)$ értékét a $ P = (3,4)$ pontban!


MO. div $ (r\vert r\vert) = \vert r\vert$div $ r + r \cdot$   grad $ \vert r\vert = 2\vert r\vert + r \cdot \frac{r}{\vert r\vert} = 3\vert r\vert\,$ és rot $ (r\vert r\vert) = \vert r\vert$rot $ r -$   CROSS $ (r) \cdot$   grad $ \vert r\vert =$

$ = 0 +$   CROSS $ (r) \cdot \frac{r}{\vert r\vert} = 0\,.$ (VAGY koordinátánként: $ {\displaystyle
r\vert r\vert = (x \sqrt{x^2+y^2}, y \sqrt{x^2+y^2}),}$ $ {\displaystyle \mbox{div\,}(r\vert r\vert) = }$

$ {\displaystyle = \frac{\partial}{\partial x} x \sqrt{x^2+y^2} +
\frac{\partial}{\partial y} y \sqrt{x^2+y^2} = }$ $ {\displaystyle \sqrt{x^2+y^2} +
\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} + \sqrt{x^2+y^2} + \frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}
= 3 \sqrt{x^2+y^2})= 3r\vert r\vert}$ és $ {\displaystyle \mbox{rot\,}(r\vert r\vert) = \frac{\partial}{\partial x} y \sqrt{x^2+y^2} -
\frac{\partial}{\partial y} x \sqrt{x^2+y^2} = }$ $ {\displaystyle \frac{yx}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} =
0)}$.

Végülis tehát    rot $ (r$div $ (r\vert r\vert) =$   rot $ (3 r\vert r\vert)) =
3\,$   rot $ (r\vert r\vert)) = 0 $.



3. Adjunk meg egy olyan $ u = u(r), \, r \in {\mathbb{R}}^2$ skalár-függvényt, melyre fennáll, hogy grad $ u = r\vert r\vert^2$ minden $ r \in {\mathbb{R}}^2$ esetén!


MO. $ {\displaystyle \mbox{rot\,}v = \mbox{rot\,}(r\vert r\vert^2) = \vert r\vert^2
\mbox{rot\,}(r) -
\mbox{CROSS\,}(r) \cdot \mbox{grad\,}\vert r\vert^2 }$ $ {\displaystyle = 0 -
\mbox{CROSS\,}(r) \cdot 2 \vert r\vert \frac{r}{\vert r\vert} = 0. }$ (VAGY: $ {\displaystyle {\rm rot\,r\vert r\vert^2} = }$

\begin{displaymath}{\displaystyle ={\rm rot\,}(x(x +y , y(x +y )) = \left (
\be...
... & y(x +y ) \\
\end{array} \!\right ) \, \,
= 2xy-2xy = 0.}\end{displaymath}) Tehát mindenütt

$ {\displaystyle u(r) = \int_0^1 v(rt) \cdot r\, dt = \int_0^1 rt\vert rt\vert^2...
...eft. \vert r\vert^4 \frac{t^4}{4}\right\vert _0^1= \frac{\vert r\vert^4}{4}\,.}$

(VAGY: $ r\vert r\vert = (x(x^2+y^2), y(x^2+y^2))$, így $ {\displaystyle u_x = x(x^2+y^2), \, u_y = y(x^2+y^2)\,,}$ tehát $ {\displaystyle u = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}
\cdot y^2 + c(y)\,,}$ azaz $ x^2y +c'(y) = u_y = y(x^2+y^2) $, vagyis $ c' = y^3\,$, így $ {\displaystyle c = \frac{y^4}{4}\,,}$ amibol $ {\displaystyle u = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \cdot y^2 +
\frac{y^4}{4} = \frac{1}{4} (x^2+y^2)^2 = \frac{\vert r\vert^4}{4}\,.)}$



4. Legyen $ {\displaystyle f(z) =
\frac{z+\overline{z}}{\overline{z}}}$ ha $ z \neq 0$ és $ f(0) = 0\,.$ Hol folytonos az $ f$ függvény?


MO. Az origó kivételével mindenütt, mert $ z \neq 0$ esetén folytonos függvényekbol származik folytonosságot megorzo módon és $ {\displaystyle \frac{z+\overline{z}}{\overline{z}} =
1+ \frac{z}{\overline{z}}}$, $ {\displaystyle\frac{z}{\overline{z}}}$- nek pedig nincs határértéke az origóban, hiszen az $ x$ tengely mentén: $ {\displaystyle f(z) = f(x,0) = \frac{x}{x} = 1}$, míg az y tengely mentén $ {\displaystyle f(z) = f(0,y) = \frac{jy}{-jy} = -1.}$



5. $ K$ egységnyi sugarú, origó középpontú kör és $ c$ tetszoleges egész szám. $ {\displaystyle \int_K \frac{e^z}{z^c}\,dz}$ = ?


MO. Ha $ c$ nem pozitív, akkor, mivel az integrandus reguláris, az integrál 0. Egyebként Cauchy integrál-formulával, vagy residuum-tétellel: $ {\displaystyle \int_K \frac{e^z}{z^c}\,dz =
2 \pi j \frac{1}{(c-1)!}}$



6. Határozza meg a $ {\displaystyle f(z) =
\frac{1}{z}}$ függvény azon $ z = j$ pont körüli Laurent sorát mely a $ z = -j$ pontban eloállítja a függvényt!

MO. $ {\displaystyle f(z) = \frac{1}{z} = \frac{1}{(z-j)+j} =
\frac{1}{z-j} \cdot \...
...left(\frac{j}{z-j}\right)^n
= \sum_{n=0}^ \infty (-j)^n \frac{1}{(z-j)^{n+1}}}$




next up previous
Next: About this document ...
Serény György 2003-09-27