3. Vizsgazárthelyi megoldásokkal

1998/99 tél II. évf. 13.-18.tk.

1. Legyen $v(x,y) = (x-y,x+y)$ egy kétdimenziós vektortér és $L$ az a háromszögvonal, melynek csúcsai az origó, a (0,1) és az (1,0) pontok. Számítsuk ki $v$ fluxusát $F$-en mint egy kifelé irányított kétdimenzióbeli valódi felületen és $v$ cirkulációját $L$-en mint egy pozitívan irányított kétdimenzióbeli görbén!

MO. a) ${\displaystyle \mbox{div\,}v = \frac{\partial v_1}{\partial x} + \frac{\partial v_2}{\partial y} = 1+1=2}$, így Gauss-Osztogradszkij tétellel a fluxus (a háromszöglapot $V$-vel jelölve): ${\displaystyle \int_F v \, df = \int_V \mbox{div\,}v \, dV = \int_V 2 \, dV = 2 \int_V \, dV = 2 \vert V\vert = 1.}$ b) ${\displaystyle {\rm rot} v = \left \vert \begin{array}{cc} \frac{\partial }{... ...artial }{\partial y} \\ x-y & x+y \\ \end{array} \!\right \vert \, \, = 2}$, így Stokes tétellel a cirkuláció (a háromszöglapot $V$-vel jelölve): ${\displaystyle \int_L v \, dr = \int_V \mbox{rot\,}v \, dV = \int_V 2 \, dV = 2 \int_V \, dV = 1.}$

2. Számítsuk ki a rot $(r$   div $(r\vert r\vert))\, \, (r \in {\mathbb{R}}^2)$ értékét a $P = (3,4)$ pontban!

MO. div $(r\vert r\vert) = \vert r\vert$div $r + r \cdot$   grad $\vert r\vert = 2\vert r\vert + r \cdot \frac{r}{\vert r\vert} = 3\vert r\vert\,$ és rot $(r\vert r\vert) = \vert r\vert$rot $r -$   CROSS $(r) \cdot$   grad $\vert r\vert =$

$= 0 +$   CROSS $(r) \cdot \frac{r}{\vert r\vert} = 0\,.$ (VAGY koordinátánként: ${\displaystyle r\vert r\vert = (x \sqrt{x^2+y^2}, y \sqrt{x^2+y^2}),}$ ${\displaystyle \mbox{div\,}(r\vert r\vert) = }$

${\displaystyle = \frac{\partial}{\partial x} x \sqrt{x^2+y^2} + \frac{\partial}{\partial y} y \sqrt{x^2+y^2} = }$ ${\displaystyle \sqrt{x^2+y^2} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} + \sqrt{x^2+y^2} + \frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = 3 \sqrt{x^2+y^2})= 3r\vert r\vert}$ és ${\displaystyle \mbox{rot\,}(r\vert r\vert) = \frac{\partial}{\partial x} y \sqrt{x^2+y^2} - \frac{\partial}{\partial y} x \sqrt{x^2+y^2} = }$ ${\displaystyle \frac{yx}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0)}$.

Végülis tehát    rot $(r$div $(r\vert r\vert) =$   rot $(3 r\vert r\vert)) = 3\,$   rot $(r\vert r\vert)) = 0$.

3. Adjunk meg egy olyan $u = u(r), \, r \in {\mathbb{R}}^2$ skalár-függvényt, melyre fennáll, hogy grad $u = r\vert r\vert^2$ minden $r \in {\mathbb{R}}^2$ esetén!

MO. ${\displaystyle \mbox{rot\,}v = \mbox{rot\,}(r\vert r\vert^2) = \vert r\vert^2 \mbox{rot\,}(r) - \mbox{CROSS\,}(r) \cdot \mbox{grad\,}\vert r\vert^2 }$ ${\displaystyle = 0 - \mbox{CROSS\,}(r) \cdot 2 \vert r\vert \frac{r}{\vert r\vert} = 0. }$ (VAGY: ${\displaystyle {\rm rot\,r\vert r\vert^2} = }$

$${\displaystyle ={\rm rot\,}(x(x +y , y(x +y )) = \left ( \be... ... & y(x +y ) \\ \end{array} \!\right ) \, \, = 2xy-2xy = 0.}$$) Tehát mindenütt

${\displaystyle u(r) = \int_0^1 v(rt) \cdot r\, dt = \int_0^1 rt\vert rt\vert^2... ...eft. \vert r\vert^4 \frac{t^4}{4}\right\vert _0^1= \frac{\vert r\vert^4}{4}\,.}$

(VAGY: $r\vert r\vert = (x(x^2+y^2), y(x^2+y^2))$, így ${\displaystyle u_x = x(x^2+y^2), \, u_y = y(x^2+y^2)\,,}$ tehát ${\displaystyle u = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \cdot y^2 + c(y)\,,}$ azaz $x^2y +c'(y) = u_y = y(x^2+y^2)$, vagyis $c' = y^3\,$, így ${\displaystyle c = \frac{y^4}{4}\,,}$ amibol ${\displaystyle u = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \cdot y^2 + \frac{y^4}{4} = \frac{1}{4} (x^2+y^2)^2 = \frac{\vert r\vert^4}{4}\,.)}$

4. Legyen ${\displaystyle f(z) = \frac{z+\overline{z}}{\overline{z}}}$ ha $z \neq 0$ és $f(0) = 0\,.$ Hol folytonos az $f$ függvény?

MO. Az origó kivételével mindenütt, mert $z \neq 0$ esetén folytonos függvényekbol származik folytonosságot megorzo módon és ${\displaystyle \frac{z+\overline{z}}{\overline{z}} = 1+ \frac{z}{\overline{z}}}$, ${\displaystyle\frac{z}{\overline{z}}}$- nek pedig nincs határértéke az origóban, hiszen az $x$ tengely mentén: ${\displaystyle f(z) = f(x,0) = \frac{x}{x} = 1}$, míg az y tengely mentén ${\displaystyle f(z) = f(0,y) = \frac{jy}{-jy} = -1.}$

5. $K$ egységnyi sugarú, origó középpontú kör és $c$ tetszoleges egész szám. ${\displaystyle \int_K \frac{e^z}{z^c}\,dz}$ = ?

MO. Ha $c$ nem pozitív, akkor, mivel az integrandus reguláris, az integrál 0. Egyebként Cauchy integrál-formulával, vagy residuum-tétellel: ${\displaystyle \int_K \frac{e^z}{z^c}\,dz = 2 \pi j \frac{1}{(c-1)!}}$

6. Határozza meg a ${\displaystyle f(z) = \frac{1}{z}}$ függvény azon $z = j$ pont körüli Laurent sorát mely a $z = -j$ pontban eloállítja a függvényt!

MO. ${\displaystyle f(z) = \frac{1}{z} = \frac{1}{(z-j)+j} = \frac{1}{z-j} \cdot \... ...left(\frac{j}{z-j}\right)^n = \sum_{n=0}^ \infty (-j)^n \frac{1}{(z-j)^{n+1}}}$